Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Hörbeispiele

Beim Gebrauch von Instrumenten mit 12 Tönen in der Oktave ist man genötigt, Kompromisse einzugehen. Welche Tonleitern sind spielbar?

Rein gestimmt: Nur eine Tonleiter.
mitteltönig gestimmte: Viele Tonleitern, aber eben nicht alle Tonleitern des Quintenzirkel.
wohltemperiert gestimmte: Alle Tonleitern, manche reiner als andere.
gleichstufig gestimmte: Alle Tonarten gleich rein, aber mit geschärften Terzen.

Heutzutage sind die meisten Klaviere gleichstufig gestimmt, manche Orgeln und Cembali mitteltönig oder wohltemperiert.

Die große Terz

Noten rein:

gleichstufig:

wohltemperiert (Werkmeister III):

Ausführlich

Dreiklang

a cis e rein

mitteltönig

gleichstufig

ausführlich

Vollkadenz

vollkadenza.png
rein
1/4-mitteltönig
gleichstufig
ausführlich

Chromatischer und diatonischer Halbton

In reiner Stimmung hat der diatonische Halbtonschritt ,,cis ,d die Grö0e von 112 Cent und der chromatische Halbtonschritt c ,,cis die Größe von 71 Cent.
Ähnlich ist es bei der mitteltönigen Stimmung.
Bei der gleichstufigen Stimmung sind beide Halbtöne gleich, nämlich 100 Cent. Noten
Rein:

Mitteltönig:

Gleichstufig:

Ausführlich:

Passus Duriuskulus

Passus duriusculus
rein

Die Halbtöne im Bass sind teils
chromatisch (71 Cent und 92 Cent)
teils diatonisch (112 Cent).
gleichstufig

Ausführlich:

Diskantklausel

fg eg f
Siehe auch: Diskantklausel klingt mit großem Ganzton besser

Dieselbe Melodie mal in C-Dur, mal in G-Dur

In C-Dur: h c ,e g ,a c
1in_c.gif
In G-Dur: h c ,e g a g
1in_c.gif

In G-Dur erklingt der Ton a höher als das ,a in C-Dur.
Spiele ,a in C-Dur (440 Hz) und a in G-Dur (445,5Hz) und beide und zusammen.

Dominantseptakkord und Tonika

dominantsept_tonika rein

gleichstufig

In reiner Stimmung erklingt der Dominantseptakkord viel spannungsreicher als in gleichstufiger Stimmung!
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Subdominatenparallel

Kommafalle


Gerade Chöre, die rein intonieren, können in die Kommafalle tappen.

Der letzte Akkord ist im Vergleich zum ersten ein Komma tiefer. Nach zweilmaligen Singen hört man deutliche den Unterschied.
Erklärung ...

Unterschied von DIS und ES (Diaschisma)

Melodie: Vom Himmel hoch, da komm ich her.

Vom Himmel hoch In reiner Stimmung
Das Dis im 4. Akkord ist in reiner Stimmung um 20 Cent tiefer als das Es im 6. Akkord.

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Der "Wolf" in der Mitteltönigen Stimmung

Kadenzen f-Dur As-Dur Spiele 1/4-mitteltönig die F-Dur- und die As-Dur-Kadenz:

Die As-Dur-Kadenz ist um fast einen halben Halbton verstimmt, denn statt "AS" erklingt das um 41 Cent höhere "Gis".
Mehr darüber
Sixte ajoutee

Sixte Ajoutée

In reiner Stimmung:

In gleichstufiger Stimmung:

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1mus_neumark1
Satz: Friedrich Silcher

spiele erste Zeile in reiner Stimmung:

Spiele zweite Zeile in reiner Stimmung:

Ein aufmersamer Hörer teilte mir mit, dass in Takt 6 ein Akkord unrein klingt. Die Analyse ergab:
Hier sind in reiner Stimmung in g-Moll die Kadenzakkorde G-'B-D, C-'Es-G und D-,Fis-A rein. Bei der Modulation zu B-Dur (Takt 6 und Takt 13) mit den reinen Kadenzakkorden 'B-D-'F, 'Es-G-'B und 'F-A-'C erhöht sich der Ton C um ein syntonisches Komma zu 'C.
Hinweis: Durdreiklänge sind in Eulerschreibweise stets von der Form 1 ,3 5 oder '1 3 '5, Molldreiklänge von der Form 1 '3 5 oder ,1 3 ,5.
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Der verminderte Septakkord

Beim verminderten Septakkord sind drei kleine Terzen übereinander gestapelt. Genauer: eine reine kleine Terz, dann eine kleine pythagoreische Terz und dann wieder eine reine kleine Terz.
(Frequenzverhältnis: reine kleine Terz: 6/5 ≙ 316 Cent,kleine pythagoreische Terz: 32/27 ≙ 294 Cent.)
Beispiel (in Eulerschreibweise):
vermindert_nach_es_c_a_fis
 
   d    'f    'as ''ces. Auflösung nach 'Es-Dur:    'es     g     'b 
  ,h     d     f   'as.  Auflösung nach  C-Dur:      c     ,e      g 
 ,,gis  ,h    ,d    f.   Auflösung nach ,A-Dur:     ,a    ,,cis   ,e
,,,eis ,,gis ,,h   ,d.   Auflösung nach ,,fis-Dur: ,,fis ,,,ais  ,,cis 

(Die Fortschreitung erfolgt über reine kleine Terzen:
  Von 'Es-Dur nach C-Dur nach ,A-Dur und nach ,,Fis-Dur.
Denkbar wäre auch eine Fortschreitung im Quintenzirkel (siehe unten):
  Von Es-Dur nach C-Dur nach A-Dur und nach Fis-Dur.)

Die hier verminderten Septakkorde in gleicher Lage:
Eulerschreibweise                Frequenzen in Hertz       Abstand von c in Cent   
 d    'f     'as  ''ces          297   356,4 422,4 506,9   204 520 814 1129
 d     f     'as   ,h            297   352   422,4 495     204 498 814 1088 
,d     f    ,,gis  ,h            293,3 352   412,5 495     182 498 773 1088
,d  ,,,eis  ,,gis ,,h            293,3 343,8 412,5 488,9   182 457 773 1067
Von Akkord zu Akkord erklingen jeweils zwei Töne gleich. Am Schluss ist der Akkord jedoch bis zu zwei Kommata tiefer.
Berechnung mit Schisma s = 2 Cent und syntonisches Komma k = 21,5 Cent:
,eis = f + s ⇒,,,eis = 'f + s - 3k. Unterschied 3k - s = 63 Cent (große Diesis).
,gis = as + s ⇒ 'as = ,,gis + s - 2k. Unterschied 2k - s = 41 Cent (kleine Diesis).
h = 'ces+s ⇒ ,,h = ''ces + s -2k. Unterschied 2k - s = 41 Cent (kleine Diesis).
Lediglich d und ,d unterscheiden sich nur um das syntonische Komma (21,5 Cent).

Dieselben Akkord nun quintverwandt

... und nicht mehr terzverwandt
verminderte Septimenakkord

Die vorkommenden Intervalle sind:
reine kleine Terz
    (Frequenzverhältnis 6/5 entspricht 316 Cent)
pythagoreische kleine Terz
   (Frequenzverhältnis 32/27 entspricht 294 Cent, ein Terzkomma tiefer)
übermäßige Sekunde
    (Frequenzverhältnis 75/64 entspricht 274 Cent, noch ein Terzkomma tiefer)
Tonart  Eulerschr.    Abst. von c in Cent Intervall in Cent
Es-Dur  as 'ces ,d f  792 1108 182 498    316 294 316
        ,g b es       680   996  294      
C-Dur   'as ,h d f    814 1088 204 498    274 316  294
        g c ,e        702    0   386      
A-Dur   ,gis h d 'f   794 1110 204 520    616 294  316
        a ,cis e      906    92  408      
Fis-Dur gis h 'd ,eis 816 1110 225 500    294 316   274
        ,ais cis fis      998    114 612 

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