Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Passus Duriusculus

Noten zum Passus Duriusculus
Aus:
Wolfgang Amadeus Mozart, KV 222 (KV 205 a)
"Misericordias Domini" d-Moll

Offertorium für gemischten Chor, Streicher und Basso continuo

München, 1775


Harmonien
rein
Bass rein
gleichstufig
Bass gleichstufig 
Akkord    Frequenzen       Frequenzv. Frequenzen
          (rein)                    (gleichstufig)
c  ,e g   264 330 396      5/4 6/5    264 332,6 395,6
,h  f 'as 247,5 352 422,4  64/45 6/5  249,2 352,4 419,1
b   c g   234,7 264 396    9/8 3/2    235,2 264 395,6
,a  c f   220 264 352      6/5 4/3    222 264 352,4
'as c f   211,2 264 352    5/4 4/3    209,5 264 352,4
g  ,h d   198 247,5 396    5/4 8/5    197,8 249,2 395,6
Die Tonbezeichnungen mit "Tiefkomma" und "Hochkomma" vor dem Ton sind der Eulersche Schreibweise geschuldet.
*) Hier ist noch interessant: Große Sext und verminderte Septime (gleichstufig beide 900 Cent) unterscheiden sich um 41 Cent, ein Fünftelton. Im zweiten Akkord H-F-As hat die verminderte kleine Septime H-As das Frequenzverhältnis von 128:75, das entspricht 925 Cent. Die großen Sext hat dagegen das Frequenzverhältnis von 5:3 entsprechend 884 Cent.
Der Bass kann sich zunächst an folgender zweistimmiger Intonationsübung einhören: (Vergleiche dazu Kodály.)

Voruebung
Anhören

Die vollständigen Akkorde wären:

C-Dur (C E)
G-Dur (H D)
C-Dur-Septime (B E Tritonus)
F-Dur (A F)
f-moll(AS F)
G-Dur (G G)


Hier gilt dasselbe, wie in As-Fis dargelegt.

Die Halbtonschritte im Bass betragen in der reinen Stimmung statt jeweils 100 Cent:

c->h 112 Cent h->b 92 Cent b->a 112 Cent a->as 71 Cent as->g 112 Cent

Man sieht: Halbtonschritte können sich um einen Fünftelton (41 Cent) unterscheiden.

Hier gilt die Beringer Faustregel von 1610: Halbtöne auf derselben Linie im Notensystem sind als kleiner Halbton, Halbtöne auf benachbarten Linien als großer Halbton zu intonieren.

Bei Pier Francesco Tosi kann man in seiner Singanleitung "Opinioni de' Cantori (Bologna, 1723) nachlesen:

Ein empfindliches Ohr hört zum Beispiel, dass ein Es höher ist als ein Dis. Bei ihm besteht ein "großer Halbton" wie E-F, H-C, D-Es oder Fis-G) aus 5 Teilen, während ein chromatischer Halbton (C-Cis, B-H oder As-A) aus 4 Teilen, wobei ein Ganton 9 Teile enthält. 

    diatonischer Halbton
     G              GIS                  A
     |———|———|———|———|———|———|———|———|———|
     G                   AS              A
                       chromatischer Halbton
Diese bestätigt die Beringer Faustregel.

Aus den Notizen Wolfgang Amadeus Mozart und seinem Kompositionsschüler Thomas Attwood, der 1885 in Wien studierte, geht klar hervor, dass bei Mozart der diatonische Halbton größer als der chromatische Halbton ist.

Siehe Seite 64 Ross W. Duffin How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You should Care)
Verlag W.W.Norton&Company, New York · London, 2007