Joachim Mohr Mathematik Musik
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Diskantklausel
Was klingt besser? Mit großem oder mit kleinem Ganzton?
Diskantklausel
Mit großem Ganzton
E-Schr Frequenzen Verhältnis f g 352 396 9/8 ,e g 330 396 6/5 f f 352 352 1/1
Mit kleinem Ganzton
E-Schr Frequenzen Verhältnis f ,g 352 391,1 10/9 ,e ,g 330 391,1 32/27 f f 352 352 1/1
Im Gegensatz zur gleichstufig temperierten Stimmung gibt es in der reinen Stimmung zwei Ganztöne. Hier hoert man deutlich, dass in der Diskantklausel der grosse Ganzton (Verhaeltnis 9:8) benoetigt wird. Der kleine Ganzton (Verhaeltnis 10:9) klingt fade. Ausserdem ist die anschliessende Aufloesung der Dissonanz zur kleinen Terz nicht rein. (Verhaeltnis sollte 6:5 sein, ist aber um ein Terzkomma 81:80 zu klein und wird zu 32:27).
Harmonisierung einer zweistimmige Klausel
Zweistimmige Klausel:
Die zweistimmige Klausel wird nun mit einem Bass versehen und harmonisiert
Der Akkord auf der II. Stufe f ,d c Subdominantisch
(Das ,d im 2. Takt zunächst ein syntonisches Komma als das d im nächsten Akkord höher)
Der Akkord auf der II. Stufe f d c doppeldominatisch
(Das d im 2. Takt wie in C-Dur).
Der Akkord auf der II. Stufe ,fis d c echt doppeldominatisch
Der Akkord der II. Stufe
Jetzt wird gezeigt, wie der Dreiklang auf der II. Stufe der Tonleiter zur Kommafalle werden kann. Wie soll man die Folge Subdominantenparallele - Dominante - Tonika im Chor singen?Das Problem ist, dass die Quinte D-A bzw. die Quarte A-D in der C-Durtonleiter nicht rein ist. Der Ganzton von C nach D hat in C-Dur das Verhältnis 8:9 ("großer Ganzton" 203,9 Cent). Für einen reinen D-A-Klang müsste das Verhältnis vom Ton C zum Ton D C:D=9:10 ("kleiner Ganzton" 182,4 Cent) wie in F-Dur sein. Oder der Ganzton G-A müsste das Verhältnis G:A=8:9 wie in G-Dur statt das Verhältnis 9:10 haben. (Die Verhältnisse werden in TTMusik automatisch berechnet.)
Lassen Sie unten das erstes Beispiel erklingen und horchen Sie auf die unschönen Schwebungen im dritten Akkord!.
Im zweiten Beispiel intoniert der Sopran das D etwas tiefer. Dies ist eine (Fein-)Modulation nach dem D der F-Dur-Tonleiter. Beim neapolitanischen Sextakkord Des-F-As wird diese Modulation in den Subdominantenbereich betont.
Im dritten Beispiel intonieren Alt und Tenor das F und A ein Komma höher. Dies wiederum ist eine (Fein-)Modulation nach G-Dur. Der Akkord FAD wäre dann die Doppel(moll)dominante. Bei der Doppel-Dur-Dominante mit Fis wird diese Modulation in den Dominantenbereich betont.
Diese Version scheint mir angebracht. Vergleiche den vorhergenden Abschnitt
"Harmonisierung einer zweistimmige Klausel".
Dann ist auch das Problem der "Kommafalle" umgangen.
Die Bezeichnung "Parallele der Subdominante" ist dann aber unzufreffend. Besser würde dieser Akkord als "Doppeldominante (in moll)" bezeichnet werden müssen.
Dann ist auch das Problem der "Kommafalle" umgangen.
Die Bezeichnung "Parallele der Subdominante" ist dann aber unzufreffend. Besser würde dieser Akkord als "Doppeldominante (in moll)" bezeichnet werden müssen.
Das Problem der Subdominantparallele
Betrifft den Akkord: F-A-Dunrein:
rein:
unrein:
Akkord Frequenzen Fr.-Verh.
e g c 330 396 528 6/5 4/3
f ,a c 352 440 528 5/4 6/5
f ,a d 352 440 594 5/4 27/20
(unrein!)
g h d 396 495 594 5/4 6/5
g c ,e 396 528 660 4/3 5/4
rein:
Akkord Frequenzen Fr.-Verh. ,e g c 330 396 528 6/5 4/3 f ,a c 352 440 528 5/4 6/5 f ,a ,d 352 440 586,7 5/4 4/3 ===== (,d tiefer) g h d 396 495 594 5/4 6/5 ==== d wieder höher) g c ,e 396 528 660 4/3 5/4
F-A-D Als Doppeldominante (in Moll)
Akkord Frequenzen Fr.-Verh.
,e g c 330 396 528 6/5 4/3
f a c 352 440 528 5/4 6/5
,f a d 356,4 445,5 594 5/4 4/3
===
(f und a höher)
g ,h d 396 495 594 5/4 6/5
===
(d bleibt)
g c ,e 396 528 660 4/3 5/4
Mit TTmusik können Sie die Intervalle statt mit den Frequenzverhältnissen auch mit dem Centmaß angeben lassen:
gleichstufig temperiert (Zum Vergleich)
Frequenzen in Cent Intervalle in Cent
(c = 0 Cent) (Oktave = 1200 Cent)
e g c 400 700 0 300 500
f a c 500 900 0 400 300
f a d 500 900 200 400 500
g h d 700 1100 200 400 300
g c e 700 0 400 500 400
1. Beispiel (unrein)
Frequenzen in Cent Intervalle in Cent
,e g c 386,3 702 0 315,6 498,0
f ,a c 498,0 884,4 0 386,3 315,6
f ,a d 498,0 884,4 203,9 386,3 519,6
g ,h d 702 1088,3 203,9 386,3 315,6
c c ,e 702 0 386,3 498,0 386,3
2. Beispiel (rein, 3. Akkord subdominantisch)
Frequenzen in Cent Intervalle in Cent
,e g c 386,3 702 0 315,6 498,0
f ,a c 498,0 884,4 0 386,3 315,6
f ,a ,d 498,0 884,4 182,4 386,3 498
g ,h d 702 1088,3 203,9 386,3 315,6
c c ,e 702 0 386,3 498,0 386,3
3. Beispiel (rein, 3. Akkord dominantisch)
Frequenzen in Cent Intervalle in Cent
,e g c 386,3 702 0 315,6 498,0
f ,a c 498,0 884,4 0 386,3 315,6
'f a d 519,6 905,9 203,9 386,3 498,0
g ,h d 702 1088,3 203,9 386,3 315,6
c c ,e 702 0 386,3 498,0 386,3
Die Kommafalle
Wird im 2. Beispiel (siehe hier...) das Sopran-d im 4. Akkord mit 587 Hz statt mit 594 Hz gesungen, dann erklingt die Dominante und der Schlussakkord zu tief. Wegen der Feinmodulation muss das "d" im 4. Akkord ein Komma höher sein wie im 3. Akkord. (vergleiche Beispiel "erstes d tiefer").