Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Die Größe von Intervallen in Cent

Kurzfassung: 1 Oktave (12 Halbtöne) = 1200 Cent.
Gleichstufige Quinte (7 Halbtöne) = 700 Cent, rein (Frequenzverhältnis 3/2) = 702 Cent.
Gleichstufige große Terz (4 Halbtöne) = 400 Cent, rein (Frequenzverhältnis 5/4) = 386 Cent.
Syntonisches Komma (Frequenzverhältnis 81/80) = 21,5 Cent.
Berechnung: Hat das Intervall i das Frequenzverhältnis q so berechnet sich die Größe des Intervalls zu i=1200 ·log2(q) Cent. Beispiel: große Terz=1200 ·log2(5/4) Cent = 386 Cent.
Man kann die Größe jedes Intervalls mit der Oktave vergleichen. Zum Beispiel sind 12 Quinten ungefähr gleich 7 Oktaven. Also gilt ungefähr:
Quinte = 7/12 Oktaven oder mit Oktave = 12 Halbtöne
Quinte = 7 Halbtöne oder mit Oktave = 1200 Cent
Quinte = 700 Cent (genauer Quinte = 702 Cent).
Wir wählen deshalb die Oktave als Einheit für das Maß für die Intervallgröße.
Als Untereinheit der Oktave hat man mit 1 Cent den 1/1200 Teil der Oktave gewählt. Man hat also:
1 Oktave = 1200 Cent. Da gilt: 1 Oktave = 12 gleichstufige Halbtöne folgt daraus:
1 gleichstufiger Halbton = 100 Cent.
Zum Vergleich: Zur Längenmessung hat man die Einheit Meter gewählt mit den Untereinheiten cm und mm:
100 cm = 1 m oder 1000 mm = 1m.
Es gilt also:
1 Oktave   = 1200 Cent (Frequenzverhältnis 2:1)
2 Oktaven = 2400 Cent (Frequenzverhältnis 4:1)
3 Oktaven = 3600 Cent (Frequenzverhältnis 8:1)
...
Die zugehörigen Frequenzverhältnisse verhalten sich exponentiell. Eine Folgerung davon ist, dass sich die Größe eines Intervalls umgekehrt logarithmisch aus dem Frequenzverhältnis berechnet. Das soll im folgendem erklärt werden.

Berechnung der Intervallgröße aus dem Frequenzverhältnis

Wir haben ober erwähnt, dass 12 Quinten ungefähr 7 Oktaven entsprechen.
1 Quinte hat das Frequenzverhältnis 3/2; 12 Quinten haben dann das Frequenzverhältnis (3/2)12.
1 Oktave hat das Frequenzverhältnis von 2; 7 Oktaven haben dann das Frequenzverhältnis von 27.
Also gilt ungefähr: (3/2)12 = 27 oder 3/2 = 2 7/12.
Um die Quinte = r⋅Oktave genau darzustellen, benötigen wir ein r mit 3/2 = 2 r. Dazu benötigen wir den Logarithmus lb zur Basis 2:

2 r = 3/2 => r=lb(3/2) = 0,58496

Und folglich ergibt sich: Quinte=lb(3/2) Oktave = 1200⋅lb(3/2) Cent = 701,955 Cent.
lb ist dabei der Logarithmus zur Basis 2. Umrechnung lb(r) = log(r)/log(2) für den Zehenrlogarithmus log.

Tabelle einiger wichtiger Intervalle

Quinte = 1200⋅lb(3/2) Cent = 701,955 Cent
Quarte = 1200⋅lb(4/3) Cent = 498,045 Cent
grpße Terz = 1200⋅lb(5/4) Cent = 386,314 Cent
kleine Terz = 1200⋅lb(6/5) Cent = 315,641 Cent
Großer Ganzton = 1200⋅lb(9/8) Cent = 203,910 Cent
kleiner Ganzton = 1200⋅lb(10/9) Cent = 182,404 Cent
diatonischer Halbton = 1200⋅lb(16/15) Cent = 111,731 Cent
syntonisches Komma = 1200⋅lb(81/80) Cent = 21,506 Cen
pythagoreisches Komma = 12 Quinten - 7 Oktaven = 23,460 Cent