Joachim Mohr   Mathematik Musik
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9. Lektion: Der Akkord der 2. Stufe, die Kommafalle,
der neapolitanische Sextakkord und die Doppeldominante

In diesem Abschnitt werden die erwähnten Tonleitern als reine Tonleitern betrachtet. Die reine Tonleitern schreibt sich in der Eulerschreibweise folgendermaßen.
Der Einfachkeit halber schreibe ich hier und im folgendem statt d' ,a' ("eingestrichenes d, eingestrichenes Tiefkomma a") als d ,a (ohne Oktavlage) usw.
Schema von Tonleitern in der Eulerschreibweise:
Dur: 1 2 ,3 4 5 ,6 ,7 8 (Reine Terzen T: 1 ,3 S: 4 ,6 D: 5 ,7)
Moll: 1 2 '3 4 5 '6 '7 8 bzw. ein Komma tiefer:
Moll: ,1 ,2 3 ,4 ,5 6 7 ,8
...
G-Dur: g a ,h c d ,e ,fis g
,e-Moll: ,e ,fis g ,a ,h c d ,e
C-Dur: c d ,e f g ,a ,h c
,a-Moll: ,a ,h c ,d ,e f g ,a
F-Dur:f g ,a b c ,d ,e f
...
Wie ändern sich die Töne bei einer Modulation?
Bei der Modulation von C-Dur zu a-moll: d zu ,d.
Bei der Modulation von C-Dur zu F-Dur: d zu ,d und h zu b.

Modulation von C-Dur zu e-moll: f zu ,fis
Modulation von C-Dur in G-Dur: f zu ,fis und ,a zu a.

Der Akkord auf der 2. Stufe

Nun zu Akkord auf der 2. Stufe. In C-Dur ist dies: d f ,a.
Lassen wir einmal die verminderte Quinte ,hf außer Acht, so sind alle Quinten der C-Dur-Tonleiter cg und ,e,h und fc und gd und ,a,e rein bis auf eine Ausnahme:
Die Quinte d,a d1a1.gif ist in C-Dur unrein. Das d ist um ein syntonisches Komma zu hoch.
Wenn ich d erniedrige zum ,d der F-Durtonleiter wird die Quinte rein.
Spiele d ,a in C-Dur und ,d,a in F-Dur
Ähnlich sind alle Terzen c,e und ,eg und f,a und g,h und ,ac und ,hd' in C-Dur rein bis auf die Ausnahme:
Die kleine Terz d f d1f1.gif ist in C-Dur unrein.
Mit dem ,d der F-Durtonleiter wird sie rein.
Spiele d f in C-Dur und ,d f in F-Dur

Beispiel Kadenz in 4 Varationen

Hier ist zu sehen, dass bei Verwendung des Akkordes der zweiten Stufe die unreine Quinte d a geändert werden muss. Ausweichung in die Tonart der Subdominante ,d ,a bzw. beim Neapolitaner in 'des 'as oder bei der Doppeldominante Dd in die Tonart der Dominante d a.
Kadenz in Variationen

Einmal die Vollkadenz T=Tonika (c ,e g), S=Subdominante (f ,a c) , D=Dominante(g ,h d) T.
Dann statt S (f ,a c) die Parallele dazu Sp (,d f ,a) Achtung: nicht d, sondern ein Komma tiefer ,d.
Dann N=Neapolitaner ('des f 'as). Also das d um einen halben Ton zu 'des vermindert.
Schließlich die Dd=Doppeldominante (d 'fis a) Achtung: nicht ,a sondern ein Komma höher a.
Die Akkorde ausführlich:
1. Kadenz
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
S: f f ,a c GT: f ,a KT: ,a c
D: g d g ,h GT: g ,h KT: ,h d
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
2. Kadenz
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
II: f ,d ,a ,d GT: f ,a KT: ,d f
D: g d g ,h GT: g ,h KT: ,h d
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
3. Kadenz mit Neapolotaner
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
IIn: f 'des 'as 'des GT: 'des f KT: f 'as
D: g d g ,h GT: g ,h KT: ,h d
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
4. Kadenz Mit Doppeldominante
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g
DD: ,fis d ,a ,d GT: d ,fis KT: ,fis a
D: g d g ,h GT: g ,h KT: ,h d
T: c ,e g c GT: c ,e KT: ,e g

Das Problem des Akkordes auf der II. Stufe

In C-Dur ist der Akkord d f ,a unrein. Rein Intoniert ist er ,d f ,a oder d 'f a.

Akkord der 2. Stufe

Hier in unserem Beispiel ist dies der 3. Akkord in der 1. Umstellung
Unrein: f ,a d. Rein intoniert: f ,a ,d oder 'f a d.

Unrein mit 3. Akkord f ,a d
Rein mit 3. Akkord f ,a ,d (Subdominantisch F-Dur zugeordnet)
Rein mit 3. Akkord 'f a d (Dominantisch G-Dur zugeordnet)


Als Chorleiter muß man darauf achten, dass das ,d im vorletzten Akkord, das möglicherweise im Akkord zuvor um ein Komma tiefer gesungen wurde, (wieder) das höhere d ist. Sonst tappt man in die Kommafalle.

Die Kommafalle

Wird im vorhergehenden Beispiel das Sopran-d nicht nur im 3. Akkord sondern auch im 4. Akkord tiefer gesungen, dann erklingt die Dominante und der Schlussakkord zu tief. Wegen der Feinmodulation muss das "d" im 4. Akkord ein Komma höher sein wie im 3. Akkord.1
Kommafalle 
Akkord       Frequenzen     in Cent             
,e-g-c       330 396 528    386  702   0        
f-,a-c       352 440 528    498  884   0        
f-,a-,d      352 440 587    680  884 182      
,g-,,h-,d    391 488 587    680 1066 182      
(richtig wäre g-,h-d)                                            
,g-,c-,,e    391 521 652    680 1178 364        
,,e-,g-,c    326 391 522    364  680 1179       
   ,f-,,a-,c 348 435 522    477  863 1179    
,f-,,a-,,d   348 435 579    477  863  161       
,,g-,,,h-,,d 386 482 579    659 1045  161       
,,g-,,c-,,,e 386 515 644    659 1157  343       
Soll
g-c-,e       396 528 660    702 1200  386       

1)  ",e" = das "e" ein synt. Komma tiefer als in der Quintenreihe
    ...-c-g-d-a-e-h-...
Auf Wikipedia sehen Sie noch ein extremeres Beispiel mit musikalischer Analyse.
Haben die Komponisten dies erspürt? Ich glaube aus folgendem Grunde: Ja!

Manche Kompositionen erniedrigen das d nicht nur um ein Komma zu ,d, sondern um einen Halbton zum neapolitanischen Sextakkord.
neapolitaner.gif
spiele d und damit ,a um einen Halbton zu des und as tiefer
Manche Kompositionen dagegen erhöhen f nicht nur um ein Komma, sondern um einen Halbton zur Doppeldominante.
doppeldominante.gif
spiele f um einen Halbton und damit ,a
um ein Komma höher.


Wir wollen festhalten: Der Akkord der 2. Stufe bedeutet stets eine Modulation.

Meist wird er als Subdominantenparallele ,d f ,a bezeichnet.

Mit gleichem Recht kann man ihn jedoch Doppeldominante d 'f a (in moll) nennen.

Von der reinen Stimmung her gesehen klingen diese Akkorde sogar anders.
Bei einem Wechsel von Dur nach Moll in derselben Tonart kann man auch eine Kommafalle beobachten.

Noch gravierender verhält es sich bei verminderten Dreiklängen oder gar verminderten Vierklängen. Je nachdem, welche Auflösung folgt, unterscheiden sich die einzelnen Töne um ein Terzkomma.

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