Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Die Teilung der Oktave in 53 Tonstufen
Die 53-Mercatorskala

Siehe auch Stimmungen in der 53-Skala
Die additive Schreibweise von Intervallen
Der Quintenzirkel in der Mercatorskale
Mitteltönige und wohltemperierte Stimmungen in der 53-Skala
Athanasius Kircher (1602-1680)

Kurzfassung

In alten Musikschulen wird beschrieben, dass der große Ganzton c-d 9 Teile, der kleine d-,e 8 Teile und der Halbton ,e-f 5 Teile hat.
Hier umfasst die Oktave c d ,e f g ,a ,h c 9+8+5+9+8+9+5 = 53 Teile. Die Oktave wird als Einheit für die Größe von Intervallen verwendet und k = 1/53 Oktave als Untereinheit (k: Mertcatorkomma).
      53 k = 1 Oktave     (1 k = 1200/53 Cent = 22,6415 Cent)
Zum Vergleich: syntonisches Komma = 21,5063 Cent, pythagoreisches Komma = 23,46001 Cent.
Dann folgt daraus:
Großer Ganzton (c-d) 9 k = 204 Cent (exakt 204 Cent)
Kleiner Ganzton (d-,e) 8 k = 181 Cent (exakt 182 Cent)
Diatonischer Halbton (,e-f) 5 k = 113 Cent (exakt 112 Cent)
großer chromatischer Halbton ('des-d) 4 k = 91 Cent (exakt 92 Cent)
kleiner chromatischer Halbton ('es-,e) 3 k = 68 Cent (exakt 71 Cent)
syntonisches Komma (,e-e) = 1 k = 23 Cent) (exakt 22 Cent)
pythagoreisches Komma (c-his) = 1 k = 23 Cent (exakt 23 Cent)
Schisma (,his-c) = 0 k = 0 Cent (exakt 2 Cent)
Man sieht: Abweichungen zu reinen Stimmung betragen maximal 3 Cent - vom menschlichen Gehör nicht zu erfassen.
Hermann von Helmholtz schreibt in seiner Lehre von den Tonempfindungen auf Seite 531 folgendes:
Will man eine Scala in fast genauer natürlicher Stimmung herstellen, welche unbegrenzt fortzumodulieren gestattet, ... so lässt sich dies durch die schon von [Nikolaus] Mercator (1620?-1687) vorgeschlagene Teilung der Octave in 53 gleich große Intervalle erreichen. Eine solche Stimmung hat neuerdings Herr Bosanquet für ein Harmonium mit symmetrisch angeordneter Tastatur benutzt. [An elementary Treatease on Musical Intervals and Temperament by. R.H.M. Bosanquet, Lonon. Macmillan 1875].
Die Annäherungen der Oktave durch Quinten (12 Quinten entspricht ungefähr 7 Oktaven) führte zur gleichstufigen Temperierung durch Teilung der Oktave in 12 gleiche Intervalle. Sie hat den Nachteil sehr rauer Großterzen.
Die nächste Annäherung (41 Quinten entspricht ungefähr 24 Oktaven) ist für eine gleichstufige Unterteilung der Oktave in 41 Teile ungeeignet, da die große Terz zu ungenau und - vor allem - die Verrückungen um ein syntonisches Komma noch hörbare Unreinheiten ergibt.
Die nächste Annäherung der Oktave (53 Quinten entspricht fast genau 31 Oktaven) hat einen überzeugenden Vorteil. Teilt man die Oktave in 53 gleiche Intervalle so entspricht die 31. Stufe (701,887 Cent) sehr genau der reinen Quinte (701,955 Cent) und - das ist besonders wichtig und so nicht zu erwarten - die 17. Stufe (384,906 Cent) der Großterz (386,314 Cent) und die Verrückung um ein syntonisches Komma (21,506 Cent) um fast genau eine Stufe (22,642 Cent) dieser Temperierung.
Dies wird im folgendem untersucht. Dabei beachte man die schismatische und die (nur für die Theorie bedeutsame) kleismatische Verwechslung.

Schismatische Verwechslung

Jede Tonleiter im Quintenzirkel kann rein gespielt werden kann, wobei Abweichungen in der Größenordnung einen Schismas von 2 Cent, die unser Gehör nicht wahrnehmen kann, toleriert werden.
Andreas Werckmeister („Musicalische Temperatur“, Quedlinburg 1691) erkannte nämlich dass man folgende Töne, die sich nur um ein Schisma unterscheiden, gleichsetzten kann: ,his=c und 'des=cis und ,dis=es usw. (siehe Tabelle unten) Man beachte
Ein Stufenschritt des 53-stufigen Stimmung unterscheidet sich vom pythagoreischen und syntonischen Komma nur unmerklich. Genaue Werte:
Stufenschritt der 53-Skala = 22,64 Cent
pythagoreisches Komma = 23,46 Cent
syntonisches Komma =21,51 Cent
Schisma = pythagoreisches Komma - syntonisches Komma = 1,95 Cent.

Das Quint-Terz-System vereinfacht
ergibt rein rechnerisch die Mecatorskala

Wir vereinfachen die Rechnung folgendermaßen: Schisma=0 (statt 2 Cent)
d.h. pathygoreisches Komma = syntonisches Komma, hier Komma genannt.
Dies entspricht dem hörpsychologischen Ansatz. Wir rechnen hier rein additiv ohne zu Hilfenahme der Frequenzverhältnisse.
Sei Ok=Oktavem Q=Quinte, T=große Terz und k=Komma. Dann gilt: Diese 3 Gleichungen gelöst ergibt: In Cent:

Intervalle der 53-Skala

Im Vergleich zur reinen Stimmung wird hier das Schisma (2 Cent), der Unterschied zwischen pythagoreischem Komma (23,5 Cent) und syntonischem Komma (21,5 Cent) vernachlässigt.
Die Grundintervalle der 53-Skala sind: (k = pythagoreisches Komma = syntonisches Komma): Die Berechnung erfolgt nach der pythagoreischen Stimmung:
c=0k his=1k des=4k cis=5k d=9k cisis=10k es=13k dis=14k fes=17k e=18k f=22k eis=23k ges=26k fis=27k g=31k fisis=32k as=35k gis=36k a=40k gisis=41k b=44k ais=45k ces=48k h=49k c=53k
Größe Intervall          Name                                           Näherungsbruch (✅=im Quint-Terz-System)
0k    ,his nach c        Schisma
      '''fes nach ,,,eis Kleisma 
1k    ,cis nach 'des     Diaschisma                                     81/80 ✅ 531441/524288 ✅
      ,d nach d          syntonisches Komma
      c nach his         pythagoreisches Komma
2k    ,,fis nach 'ges    kleine Diesis                                  38/38
3k    ,,fis nach ''ges   kleiner chromatischer Halbton (große Diesis)   25/24 ✅
      'es nach ,e        dto.   
4k    'des nach d        großer chromatischer Halbton (kleines Chroma)  256/243 ✅
      ,ais nach ces      doppelt verminderte Terz
      dis nach e         Leimma (diatonischer pythagoreischer Halbton) 
5k    e nach f           diatonischer Halbton                           16/15 ✅                      
      c nach cis         pythagoreische übermäßige Prim
8k    d nach ,e          kleiner Ganzton                                10/9 ✅                                 
9k    c nach d           großer Ganzton                                 9/8 ✅ 
10k   ,,gis b            verminderte Terz                               49/43 
12k   'des ,e            übermäßige Sekunde (1)                         7/6                     
13k   c nach es          pythagoreische kleine Terz                     32/27 ✅
      f nach ,gis        übermäßige Sekunde (2)
14k   c nach 'es         kleine Terz                                       6/5 ✅ 
17k   c nach ,e          große Terz                                        5/4 ✅
18k   c nach e           pythagoreische große Terz                         81/64 ✅                     
19k   ,d nach 'ges       verminderte Quarte                                9/7 
22k   c nach f           Quarte                                            4/3 ✅
      f nach ,ais        übermäßige Terz
26k   f nach ,h          Tritonus                                          45/32 ✅                                     
                         1/2 Oktave
27k   f nach 'ges        verminderte Quinte                                64/45 ✅
31k   c nach g           Quinte                                            3/2 ✅
34k   'des nach ,a       übermäßge Quinte                                  14/9
35k   c nach as          pythagoreische kleine Sext                        11/7 
36k   c nach 'as         kleine Sext                                       8/5 ✅  
39k   c nach ,a          große Sext                                        5/3 ✅                
40k   c nach a           pythagoreische große Sext                         27/16 ✅
      ,dis nach c        verminderte Septime 
44k   c nach b           kleinere kleine Septime = Oktave - großer Ganzton 16/9 ✅
45k   c nach 'b          größere kleine Septime = Oktave - kleiner Ganzton 9/5 ✅ 
48k   c nach ,h          große Septime                                     15/8 ✅
53k   c nach c           Oktave                                            2/1 ✅