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Die Dur- und Mollakkorde im Quintenzirkel
mit Mercatorscala
Der Quintenzirkel von Des-Dur (mit Subdominante Ges) bis Cis-Dur (mit Domiante Gis-Dur)
Im der folgenden Tabelle sind noch die Paralleltonarten (Zum Beispiel zu C-Dur/moll auch ,A-Dur/moll) mitberücksichtigt:
Ges: ges 'heses ,b des
,Es: ,es ges ,,g ,es
Des: des 'fes ,f as
,B: ,b des ,,d ,f
As: as 'ces ,c es
,F: ,f as ,,a ,c
Es: es 'ges ,g b
,C: ,c es ,,e ,g
B: b 'des ,d f
,G: ,g b ,,h ,d
F: f 'as ,a c
,D: ,d f ,,fis ,a
--------------------------
C: c 'es ,e g
,A: ,a c ,,cis ,e
-------------------------
G: g 'b ,h d
,E: ,e g ,,gis ,h
D: d 'f ,fis a
,H: ,h d ,,dis ,fis
A: a 'c ,cis e
,Fis: ,fis a ,,ais ,cis
E: e 'g ,gis h
,Cis: ,cis e ,,eis ,gis
H: h 'd ,dis fis
,Gis: ,gis h ,,his ,dis
Fis: fis 'a ,ais cis
,Dis: ,dis fis ,,fisis ,ais
Cis: cis 'e ,eis gis
,Ais: ,ais cis ,,cisis ,eis
Gis: gis 'h ,his dis
,Eis: ,eis gis ,,gisis ,his
Folgende 61 (41 bei Vernachlässigung des Schismas) Töne kommen vor.
Töne, die sich um ein Schisma (2 Cent) unterscheiden werden mit "+" oder "-" gekennzeichnet. Zum Beispiel 'es(316)=dis(+) bedeutet: dis(318) ist 2 Cent größer als 'es(316).
,his(2)=c(-) bedeutet: c(0) ist 2 Cent kleiner als ,his(2).
'heses(904)=a(+) 'fes(406)=e(+) 'ces(1108)=h(+) 'ges(610)=fis(+) 'des(112)=cis(+) 'as(8014)=gis(+)
'es(316)=dis(+) 'b(1018) 'f(520) 'c(22) 'g(723) 'd(225) 'a(927) 'e(429) 'h(1131)
ges(588) des(90) as(792) es(294) b(996) f(498) c(0) g(702) d(204) a(906) e(408) h(1108) fis(612) cis(113)
gis(816) dis(318)
,es(273) ,b(975) ,f(477) ,c(1178) ,g(680) ,d(182) ,a(884) ,e(386) ,h(1088) ,fis(590)=ges(-) ,cis(92)=des(-)
,gis(794)=as(-) ,dis(296)=es(-) ,ais(998)=b(-) ,eis(450)=f(-) ,his(2)=c(-)
,,g(659) ,,d(161) ,,a(863) ,,e(365) ,,h(1067) ,,fis(569) ,,cis(71) ,,gis(773) ,,dis(275)=,es(-)
,,ais(976)=,b(-) ,,eis(448)=,f(-) ,,his(1180)=,c(-) ,,fisis(682)=,g(-) ,,cisis(184)=,d(-)
Nach Größe geordnet (mit Mercatorskala)
Die Mercatorskala ist m0=0 m1=1200/53=23 m2=2*1200/52=45 usw.c(0)=m0
,his(2)
'c(22) =m1(23)
,,cis(71)=m3(68)
des(90)=m4(91)
,cis(92)
'des(112)
cis(113)=m5(113)
,,d(161)=m7(158)
,d(182)=m8(181)
,,cisis(184)
d(204)=m9(204)
'd(225)=m10(226)
,es(273)=m12(272)
,,dis(275)
es(294)=m13(294)
,dis(296)
'es(316)=dis(+2)=m14(317)
dis(318)
,,e(365)=m16(362)
,e(386)=m17(386)
'fes(406)
e(408)=m18(408)
'e(429)=m19(430)
,eis(450)=m20(453)
,f(477)=m21(475)
,,eis(478)
f(498)=m22(498)
'f(520)=m23(521)
,,fis(569)m25(566)
ges(588)=m26(589)
,fis(590)=
'ges(610)=m27(611)
fis(612)
,,g(658,94)=m29(656)
,g(680)=m30(679)
,,fisis(682)=,g(-2)
g(702)=m31(702)
'g(723)=m32(727)
,,gis(773)=m34(770)
as(792)=m35(792)
,gis(794)
'as(814)=gis(+2)=m36(815)
gis(816)
,,a(863)=m38(860)
,a(884)=m39(883)
'heses(904)=a
a(906)=m40(906)
'a(927)=m41(928)
,b(975)=m43(974)
,,ais(976)=,b(-2)
b(996)=m44(996)
,ais(998)
'b(1018)=m45(1019)
,,h(1067)=m47(1064)
,h(1088)=m48(1087)
'ces(1108)=h=m49(1109)
h(1110)
'h(1131)=m50(1132)
,c(1178)=m52(1177)
,,his(1180)
c(1200= m53(1200)
Nur von theoretischem Interesse.
Kleismatische Verwechslung
Wenn man den Quintenzirkel ...
... weiter ausdehnt und ins Unendliche fortsetzt, so schließt er sich nie, es sei denn, man toleriert kleine Fehler, wie das Schisma (siehe oben).
Die Kleismatische Verwechslung führte Tanaka (Nachmame) Shohel (Vorname) in seiner Dissertation ein, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zum Beispiel zeigte, dass '''fes=,,,eis ist wenn man den Fehler des Kleismas toleriert. (Genau: '''fes=448,89 Cent, ,,,eis=456,99 Cent, Kleisma=8,11 Cent).
Weitere kleismatische Verwechslungen wären '''ges=,,,fisis, '''ces=,,,his, '''fes=,,,eis, '''heses=,,,ais, ''b=,,,,aisisis, ''es=,,,,disis, ''as=,,,,gisisi, ''de=,,,,cisis, ''ges=,,,,fisis.
Tanaka zeigte, indem er sämtliche theoretisch mögliche Modulationen betrachtete und zeigte, dass die 53-stufige Stimmung die einzige gleichstufige Stimmung mit dieser Eigenschaft ist, sowohl Schisma als auch Kleisma zu temperieren.
Die erste Spalte: Die 53 Tonstufen der Oktave
Die zweite Spalte: Der Tonabstand zum Ton c in Cent
Die dritte Spalte: Entsprechende Töne in Eulerschen Schreibweise mit Centangabe.
| Tonst. |
Tonst.
in Cent |
Entspr. Töne |
| -3 | - 68 | ,,,c= - 65 |
| -2 | -45 | ,,c= - 43 |
| -1 | - 23 | ,c= - 22 ,,his= - 20 |
| 00 | 0 | c=0 ,his=2 |
| 01 | 23 | 'c=22 his=23 |
| 02 | 45 | ''c=43 |
| 03 | 68 | ,,cis=71 |
| 04 | 91 | des=90 ,cis=92 |
| 05 | 113 | 'des=112 cis=114 |
| 06 | 136 | ''des=133 |
| 07 | 158 | ,,d=161 |
| 08 | 181 | ,d=182 ,,cisis=184 |
| 09 | 204 | d=204 ,cisis=206 |
| 10 | 226 | 'd=225 cisis=227 |
| 11 | 249 | ''d=247 ,,es=251 |
| 12 | 272 | ,es=273 ,,dis275 |
| 13 | 294 | es=294 ,dis=296 |
| 14 | 317 | 'es=316 dis=318 |
| 15 | 340 | ''es=337 |
| 16 | 362 | ,,es=365 |
| 17 | 385 | fes=384 ,e=386 |
| 18 | 408 | 'fes=406 e=408 |
| 19 | 430 | 'e=429 |
| 20 | 453 | ''e=451 ,,f=455 |
| 21 | 475 | ,f=477 ,,eis=478 |
| 22 | 498 | f=498 ,eis=500 |
| 23 | 521 | eis=522 |
| 24 | 543 | 'eis=543 |
| 25 | 566 | ,,fis=569 |
| 26 | 589 | ges=588 ,fis=590 |
| 27 | 611 | 'ges=609 fis=612 |
| 28 | 634 | 'fis=633 |
| 29 | 657 | ''fis=655 ,,g=659 |
| 30 | 679 | ,g=680 ,,fisis=682 |
| 31 | 702 | g=702 ,fisis=704 |
| 32 | 725 | fisis=725 |
| 33 | 747 | ,,,gis=752 |
| 34 | 770 | ,as=771 ,,gis=772 |
| 35 | 792 | as=792 ,gis=794 |
| 36 | 815 | 'as=814 gis=816 |
| 37 | 838 | ''as=835 |
| 38 | 860 | ,,a=863 |
| 39 | 883 | ,a=884 |
| 40 | 906 | a=906 |
| 41 | 928 | gisis=929 |
| 42 | 951 | ,,b=953 |
| 43 | 974 | ,b=975 ,,ais=976 |
| 44 | 996 | b=996 ,ais=998 |
| 45 | 1019 | 'b=1018 ais=1020 |
| 46 | 1042 | ''b=1039 'ais=1041 |
| 47 | 1064 | ,ces=1065 ,,h=1067 |
| 48 | 1087 | ces=1086 ,h=1088 |
| 49 | 1109 | 'ces=1108 h=1110 |
| 50 | 1132 | 'h=1131 |
| 51 | 1155 | ''h=1153 ,,c=1157 |
| 52 | 1177 | ,c=1178 ,,his1180 |
| 53 | 1200 | c=1200 |
Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen I
des es ,f ges as ,b ,c des
4 13 21 26 35 43 52 4
9 8 5 9 8 9 5
as b ,c des es ,f ,g as
35 44 52 4 13 21 30 35
9 8 5 9 8 9 5
es f ,g as b ,c ,d es
13 22 30 35 44 52 8 13
9 8 5 9 8 9 5
b c ,d es f ,g ,a b
44 0 8 13 22 30 39 44
9 8 5 9 8 9 5
f g ,a b c ,d ,e f
22 31 39 44 0 8 17 22
9 8 5 9 8 9 5
c d ,e f g ,a ,h c 0 9 17 22 31 39 48 0 (mod 53) 9 8 5 9 8 9 5 (Differenzen)
g a ,h c d ,e ,fis g
31 40 48 0 9 17 26 31
9 8 5 9 8 9 5
d e ,fis g a ,h ,cis d
9 18 26 31 40 48 4 9
9 8 5 9 8 9 5
a h ,cis d e ,fis ,gis a
40 49 4 9 18 26 35 40
9 8 5 9 8 9 5
e fis ,gis a h ,cis ,dis e
18 27 35 40 49 4 13 18
9 8 5 9 8 9 5
h cis ,dis e fis ,gis ,ais h
49 5 13 18 27 35 44 49
9 8 5 9 8 9 5
fis gis ,ais h cis ,dis ,eis fis
27 36 44 49 5 13 22 27
9 8 5 9 8 9 5
cis dis ,eis fis gis ,ais ,his cis 5 14 22 27 36 44 0 5 9 8 5 9 8 9 5
Der Quintenzirkel in der 53-Skala von c aus gemessen II
k=Oktave/53=22,6 Cent (ungefähr=synt. Komma=21,5 Cent/Pyth. Komma=23,5 Cent), chromatischr Halbton=4k, diatonischer Halbton=5k, kleiner Ganzton=8k, Großer Ganzton=9k, kleine Terz=14k, große Terz=17k, Quarte=22k, Quinte=31k. (Abweichungen in der Größenordnung von einem Schisma=2 Cent.)Tonart des as es b f |c | g d a e h fis cis mitteltönig
0 c c |c | c ,his 0 c
1 |↓ |
2 | |
3 | | 3,25...,cis
4 des des | | ,cis ,cis ,cis
5 ↓ | | cis cis cis 5,25 °'des
6 | | ↓
7 | |
8 ,d ,d ,d | | 8,5 ..d
9 |d | d d d
10 | | ↓
11 | | 11,75.,,dis
12 | |
13 es es es es | | ,dis ,dis ,dis 13,75°°°es
14 ↓ | | dis
15 | |
16 | |
17 ,e |,e| ,e ,e
18 | | e e e e
19 | | ↓
20 | | 20,25...,,eis
21 ,f ,f | |
22 f f f |f | ,eis ,eis 22,25 °f
23 ↓ | |
24 | |
25 | | 25,5 ..,fis
26 ges | | ,fis ,fis ,fis
27 | | fis fis fis fis 27,5 °°'ges
28 | | ↓
29 | |
30 ,g ,g ,g | | 30,75 °g
31 g |g | g g
32 | | ↓
33 | |
34 | | 34 ,,gis
35 as as as | | ,gis ,gis ,gis
36 ↓ | | gis gis 36 'as
37 | |
38 | |
39 ,a ,a |,a| 39,25...a
40 | | a a a a
41 | | ↓
42 | | 42,25..,,ais
43 ,b | |
44 b b b b | | ,ais ,ais ,ais 44,5 °°b
55 ↓ | |
46 | |
47 | | 47,75 .,h
48 |,h| ,h ,h
49 | | h h h h
50 | | ↓
51 | | 51 ,,,his
52 ,c ,c ,c | |
53 c c |c | c ,his c
Der Quintenzirkel in 24 Tonarten in der 53-Skala III
Siehe hier ...Die Tonleitern im Quintenzirkel, dargestellt in der 53-Skala
Abkürzung: Ok=Oktave
Die #-Tonarten im Eulerschen Tonnetz in der 53-Skala
C-Dur: c=0/53Ok d=9/53Ok ,e=17/53Ok f=22/53Ok
g=31/53Ok ,a=39/53Ok ,h=48/53Ok c=53/53Ok
G-Dur: g a=40/53 ,h c d ,e ,fis=26/53Ok g
(Nur die Veränderungen sind angegeben)
D-Dur: d e=18/53 ,fis g a ,h ,cis=4/53Ok d
A-Dur: a h=48/53Ok ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis=27/53Ok ,gis a h ,cis ,dis=13/53Ok e
H-Dur: h cis=5/53Ok ,dis e fis ,gis ,ais=44/53Ok h
FIS-Dur: fis gis=36/53Ok ,ais h cis ,dis ,eis=22/53Ok fis
CIS-Dur: cis dis14/53Ok ,eis fis gis ,ais ,his=0/53Ok cis
Die ♭-Tonarten im Eulerschen Tonnetz in der 53-Skala
C-Dur: c=0/53Ok d=9/53Ok ,e=17/53Ok f=22/53Ok
g=31/53Ok ,a=39/53Ok ,h=48/53Ok c=53/53Ok
F-Dur: f g ,a b44/53Ok c ,d=8/53Ok ,e f
(Nur die Veränderungen sind angegeben)
B-Dur: b c ,d es=13/53Ok f ,g=30/53Ok ,a b
Es-Dur: es f ,g as=35/53Ok b ,c=-1/53Ok ,d es
As-Dur: as b ,c des=4/53Ok es ,f=21/53Ok ,g as
Des-Dur: des es ,f ges=26/53Ok as ,b=44/53Ok ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces=48/53Ok des ,es=12/53Ok ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes=17/53Ok ges ,as=34/53Ok ,b ces
In alten Singschulen konnte man mit den theoretischen Verhältnissen der Intervalle wenig anfangen. Die multiplikativen Größenverhältnisse zum Beispiel zwischen den Ganztönen mit den Verhältnissen 9/8 und 10/9 waren zu abstrakt. Seit Guido von Arrezzo (992 bis 1050) kannte man die arithmetische Einteilung. Hier hatte man eine gute Vorstellung der Größen der Intervalle.
Großer Ganzton (c-d) = 9 Teile
Kleiner Ganzton (d-,e) = 8 Teile
Diatonischer Halbton (,e-f) = 5 Teile
Chromatischer Halbton ('b-h oder f-,fis) = 4 Teile
Große Terz (c-,e) = 17 Teile
Quinte (c-g) = 31 Teile
Oktave (c-c') = 53 Teile
Dies stellt die Größenverhältnisse in hervorragender Weise dar. Der Fehler zum exakten Wert liegt in der Größenordnung von einem Schisma (2 Cent).
Großer Ganzton (c-d) = 9 Teile
Kleiner Ganzton (d-,e) = 8 Teile
Diatonischer Halbton (,e-f) = 5 Teile
Chromatischer Halbton ('b-h oder f-,fis) = 4 Teile
Große Terz (c-,e) = 17 Teile
Quinte (c-g) = 31 Teile
Oktave (c-c') = 53 Teile
Dies stellt die Größenverhältnisse in hervorragender Weise dar. Der Fehler zum exakten Wert liegt in der Größenordnung von einem Schisma (2 Cent).
Das Manual von Bosanquet. Mit dem Harmonium lassen sich alle Tonleitern des Quintenzirkels rein spielen (bis auf 2Cent).
Erläuterung: Bosanquet verwendet statt ,c die Schreibweise \c und statt 'c die Schreibweise /c.
Quelle nach Hermann von Helmholtz
Erläuterung: Bosanquet verwendet statt ,c die Schreibweise \c und statt 'c die Schreibweise /c.
Quelle nach Hermann von Helmholtz
Die mitteltönige Stimmung in der 53-Skala
Genau bis auf das Schisma=2 Cent (entspricht in der 53-Skala dem Wert von 0,09)chromatischer Halbton=3,25 / diatonischer Halbton=5,25 / Ganzton=8,5 / Kleinterz=13,75 / Großterz=17 / Quart=22,25 / Quint=30,75 / kl. Sext=36 / gr. Sext=39,25 / kl. Septime=44,5 / gr. Septime=47,75 / Oktave=53
°'des .,,dis ...,,eis °°'ges 'as ..,,ais ,,,his 5,25 11,75 20,25 27,5 36 42,5 51
...,cis °°°es ..,fis ,,gis °°b 3,25 13,75 25,5 34 44,5
c ..d ,e °f .g ...a .,h c 0 8,5 17 22,25 30,75 39,25 47,75 53
8,5 8,5 5,25 8,5 8,5 8,5 5,25