Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi

Stimmungen in der 53-Skala

Ich verwende hier die 53-Skala nach Mercator mit K=1200/53 Cent. Bei ihr beträgt in reiner Stimmung der große Ganzton 9K, der kleine Ganzton 8K und der diatonische Halbton 5K. Sie ist anschaulich und weicht von den exakten Werten in Cent maximal 2 Cent ab.

pythagoreische Stimmung

Quelle

Pythagoreische Stimmung nach Boethius (um 480-525 n.Chr., „De musica libri quinque“)

Nach der Quintenfolge b-f-c-g-d-a-e-h.
Zu der ursprünglich 7-stufigen diatonischen Tonleiter kam noch ein 8. Ton hinzu. In aufsteigender Bewegung wurde der 7. Ton als h höher intoniert, in absteigender Bewegung als b tiefer.

                                                                                     44  
                                                                                     b
 0               9                18      22                31                40                  50    53
 c               d                 e       f                 g                 a                   h     c

Im 13. und frühen 14. Jahrhundert wurden die bislang fehlenden chromatischen Halbtöne nach und nach eingeführt, um den sich aus der damaligen Tonsatzlehre ergebenden Regeln zur Anwendung von „musica ficta“ (also Akzidenzien) entsprechen zu können.

Pythagoreische Stimmung (nach Robertsbridge Codex um 1320)

        5               13                          27                 36              44 
       cis              es                          fis                gis              b          
 0               9                18      22                31                40                  50    53
 c               d                 e       f                 g                 a                   h     c

Pythagoreische Stimmung (nach Anselmi/Arnaut/Keck/Galliculus)

      4                 13                        26                 35                44 
     des                es                        ges                as                 b          
0                9                18      22                31                40                  50    53
c                d                 e       f                 g                 a                   h     c

mitteltönige Stimmung

Quelle

In der Musikpraxis des 15. Jahrhunderts wurden die Terzen als Konsonanzen betrachtet und erklangen im späten 15. Jahrhundert sogar gelegentlich als Schlußakkord.

Es handelt sich hierbei nicht um die pythagoreische Terz. Diese klingt rau und wurde als Dissonanz betrachtet. Nun verwendete man die reine Terz (Frequenzverhältnis 5:4).
Beispiel:
Pythagoreische Terz c-e (klingt rau)

Reine Terz

Deshalb suchten Praktiker und Theoretiker nach Stimmungen mit möglichst reinen Terzen. Eine Lösung dieses Problems beschrieb erstmals Arnolt Schlick im „Spiegel der Orgelmacher und Organisten“ (erschienen in Speyer 1511) in Kapitel 8. Er empfahl die Quinten, mit denen man das Instrument stimmte, um einen kleinen Betrag kleiner zu machen. In der Praxis des 16. Jahrhunderts wurden die Quinten um 1/4 syntonisches Komma verengt, so dass die Terzen (Freuenzverhältnis 5:4) rein erklangen. Die Verstimmung der Quinten ist so klein, dass es im Spiel nicht stört.

Man stimmt also vier aufeinanderfolgende Quinten um 1/4 syntonisches Komma zu tief. Die restlichen 7 Töne der 12-stufigen Tastatur stimmte man dann mit reinen Terzen und Oktaven.
Frühe Beschreibungen der Mitteltönigen Stimmung findet man bei Pietro Aron (Toscanello 1523), Giuseppe Zarlino (Istitutioni harmonche 1573) und Michael Praetorius (Syntagma musicum 1619).


     3¼                  13¾                    25½                34                   44½ 
     cis                  es                    fis                gis                   b          
0               8½                17      22¼               30¾               39¼                 47¾    53
c                d                 e       f                 g                 a                   h     c

Man sieht hier: Der gemittelte Ganzton hat 8 1/2 Teile, der diatonische Halbton 5 1/4 Teile, der chromatische Halbton 3 1/4 Teile und der Unterschied der harmonisch verwechselten Töne cis-des, dis-es,fis-ges,gis-as,ais-b beträgt 2 Teile.
Bei dieser Stimmung sind alle Dur-Dreiklänge rein ... bis auf h-dis-fis, fis-ais-cis, und des-f-as. Die Molldreiklänge sind alle rein ... bis auf as-ces-es, es-ges-b, b-des-f und f-as-c . In der Praxis wurden diese "Wolfs-"dreiklänge im 16. und frühen 17. Jahrhundert nicht benötigt. Mögliche Finaltöne waren nur f, c, g, d, a und e. Trotzdem gab es zwei Hauptprobleme:
1. Der H-Dur-Dreiklang wurde benötigt für den Finalakkord e-gis-h.
2. Orgeln waren im Chorton einen Ganzton höher als Instrumente gestimmt. Aber Transponieren für den Generalbas war nicht möglich.
Man erweiterte die Tastatur um des, dis, ges, as und ais:
tastatur_mitteltoenig_53_skala

Dies war aber teuer und stimmtechnisch kompliziert.

Wohtemperierte Stimmungen

Nun modifizierte man die mitteltönige Stimmung so, dass man alle Akkorde spielen konnte, aber doch so, dass die C-Dur-nahen Akkorde reiner klangen.

Rekonstruierte Stimmung von Christian Vater in Bockhorn von 1722


        4               13                         26              34¾                44
     cis/des           dis/es                    fis/ges          gis/as             ais/b          
0               8½                17¼      22               30¾               39¼                 48¼     53
c                d                 e       f                 g                 a                   h     c

Stimmung von Gottfried Silbermann nach G. A. Sorge 1748


        3¾              13½                         26            34 5/8               44¼
     cis/des           dis/es                    fis/ges          gis/as             ais/b          
0               8¾                17¼     22½               30¾               39½                 48     53
c                d                 e       f                 g                 a                   h     c