Vergleiche auch Die Eulerschreibweise.
Siehe dazu auch die Einteilung der Oktave in 53 Tonstufen
Der Quintenzirkel in reiner Stimmung
Ausgehend von der reinen C-Dur-Tonleiter erfolgen folgende Tonhöhenverschiebungen.
Der Übersichtlichkeit gleiche Töne untereinander. Von Zeile zu Zeile ändert sich nur ein Ton um einen Halbton oder um ein syntonisches Komma. Bei den Molltonarten werden noch der erhöhte 6. und 7. Ton angegeben
Ces-Dur ces des ,es fes ges ,as ,b ces des ,es fes ges ,as ,b
,es-moll ces des ,es ,f ges ,as ,b ces des ,es ,f ges ,as ,b
,,c ,,d ,,c ,,d
Ges-Dur ces des ,es ,f ges as ,b ces des ,es ,f ges as ,b
,b-moll ,c des ,es ,f ges as ,b ,c des ,es ,f ges as ,b
,,g ,,a ,,g ,,a
Des-Dur ,c des es ,f ges as ,b ,c des es ,f ges as ,b
,f-moll ,c des es ,f ,g as ,b ,c des es ,f ,g as ,b
,,d ,,e ,,d ,,e ,f
As-Dur ,c des es ,f ,g as b ,c des es ,f ,g as b
,c-moll ,c ,d es ,f ,g as b ,c ,d es ,f ,g as b
,,a ,,h ,,a ,,h
Es-Dur ,c ,d es f ,g as b ,c ,d es f ,g as b
,g-moll ,c ,d es f ,g ,a b ,c ,d es f ,g ,a b
,,e ,,fis ,,e ,,fis
B-dur c ,d es f ,g ,a b c ,d es f ,g ,a b
,d-moll c ,d ,e f ,g ,a b c ,d ,e f ,g ,a b
,,cis ,,h ,,cis
F-Dur c ,d ,e f g ,a b c ,d ,e f g ,a b
,a-moll c ,d ,e f g ,a ,h c ,d ,e f g ,a ,h
,,fis,,gis ,,fis,,gis
C-Dur c d ,e f g ,a ,h c d ,e f g ,a ,h
,e-moll c d ,e ,fis g ,a ,h c d ,e ,fis g ,a ,h
,,cis,,dis ,,cis,,dis
G-Dur c d ,e ,fis g a ,h c d ,e ,fis g a ,h
,h-moll ,cis d ,e ,fis g a ,h ,cis d ,e ,fis g a ,h
,,gis ,,ais ,,gis,,ais
D-Dur ,cis d e ,fis g a ,h ,cis d e ,fis g a ,h
,fis-moll ,cis d e ,fis ,gis a ,h ,cis d e ,fis ,gis a ,h
,,dis,,eis ,,dis,,eis
A-Dur ,cis d e ,fis ,gis a h ,cis d e ,fis ,gis a h
,cis-moll ,cis ,dis e ,fis ,gis a h ,cis ,dis e ,fis ,gis a h
,,ais,,his ,,ais,,his
E-Dur ,cis ,dis e fis ,gis a h ,cis ,dis e fis ,gis a h
,gis-moll ,cis ,dis e fis ,gis ,ais h ,cis ,dis e fis ,gis ,ais h
,,eis,,fisis ,,eis ,,fisis
H-Dur cis ,dis e fis ,gis ,ais h cis ,dis e fis ,gis ,ais h
,dis-moll cis ,dis ,eis fis ,gis ,ais h cis ,dis ,eis fis ,gis ,ais h
,,cisis ,,his,,cisis
Fis-Dur cis ,dis ,eis fis gis ,ais h cis ,dis ,eis fis gis ,ais h
,ais-moll cis ,dis ,eis fis gis ,ais ,his cis ,dis ,eis fis gis ,ais ,his
,,fisis ,,gisis ,,fisis,,gisis
Cis-Dur cis dis ,eis fis gis ,ais ,his cis dis ,eis fis gis ,ais ,his
Chromatischer Halbton: (Veränderung von f in ,fis, c in ,cis usw. bzw von ,h in b, ,e in es u.s.w.): Frequenzverhältnis 135/128 entspricht 92,2 Cent. Syntonisches Komma: Frequenzverhältnis 81/80 entspricht 21,5 Cent.
Die Rechnung in Cent ist einfach: Mit q=701,955 (Quinte) und t=386,314 (Terz) errechnet sich (modulo Oktave = 1200): c=0 g=q d=2q a=3q e=4q u.s.w. f=-q b=-2q es =-3q u.s.w. Mit s=21,506 (syntonisches Komma): ,c = c-s ,g=g-s ,d=d-s ... ,f=f-s ,b=,b-s ,es=es-s u.s.w.
Die Kreuz-Tonarten im Eulerschen Tonnetz
C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
G-Dur: g a(906) ,h c d ,e ,fis(590) g
D-Dur: d e(408) ,fis g a ,h ,cis(92) d
A-Dur: a h(1110) ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis(612) ,gis a h ,cis ,dis(296) e
H-Dur: h cis(114) ,dis e fis ,gis ,ais(998) h
FIS-Dur: fis gis(816) ,ais h cis ,dis ,eis(500) fis
CIS-Dur: cis dis(318) ,eis fis gis ,ais ,his(2) cis
Die B-Tonarten im Eulerschen Tonnetz
C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
F-Dur: f g ,a b(996) c ,d(182) ,e f
B-Dur: b c ,d es(294) f ,g(680) ,a b
Es-Dur: es f ,g as(792) b ,c(-22) ,d es
As-Dur: as b ,c des(90) es ,f(477) ,g as
Des-Dur: des es ,f ges(588) as ,b(975) ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces(1086) des ,es(273) ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes(384) ges ,as(771) ,b ces
In Reihenfolge
* * = Der Unterschied ist nur ein Schisma groß.
c 0 * in C-Dur ,his 1,954 * ab Cis-Dur ,,cis 70,672 ab ,e-Moll des 90,225 * ab As-Dur ,cis 92,179 * ab D-Dur cis 113,685 ab H-Dur ,,d 160,897 ab ,f-Moll ,d 182,404 ab F-Dur ,,cisis 184,374 ab ,dis-Moll d 203,910 in C-Dur ,es 272,629 * ab Ges-Dur ,,dis 274,582 * ab ,fis-Moll es 294,135 * ab B-Dur ,dis 296,089 * ab E-Dur dis 317,595 ab Cis-Dur ,,e 364,807 ab ,g-Moll fes 384,360 * ab Ces-Dur ,e 386,314 * in C-dur e 407,820 ab D-Dur ,f 476,539 * ab As-Dur ,,eis 478,492 * ab ,gis-Moll f 498,045 * in C-Dur ,eis 499,999 * ab Fis-Dur ,,fis 568,717 ab ,a-Moll ges 588,270 * ab Des-Dur ,fis 590,224 * ab G-Dur fis 611,730 ab E-Dur ,,g 658,942 ab ,b-Moll ,g 680,449 * ab B-Dur ,,fisis 682,402 * ab ,ais-Moll g 701,995 in C-Dur ,as 770,674 * ab Ces-Dur ,,gis 772,627 * ab ,h-Moll as 792,180 * ab Es-Dur ,gis 794,134 * ab A-Dur gis 815,640 ab Fis-Dur ,,a 862,852 ab ,c-Moll ,a 884,359 * in C-Dur ,,gisis 886,312 * ab ,ais-Moll a 905,865 ab G-Dur ,b 974,584 * ab Des-Dur ,,ais 976,537 * ab ,cis-Moll b 996,090 * ab F-Dur ,ais 998,044 * ab H-Dur ,,h 1066,762 ab ,d-Moll ces 1086,315 * ab Ges-Dur ,h 1088,269 * in C-Dur h 1109,775 ab A-Dur ,,c 1156,987 ab ,es-Moll ,c 1178,494 * ab Es-Dur ,,his 1180,447 * ab ,dis-Moll c' 1200,000 in C-Dur ,his 1201,954 * ab Cis-Dur
Schisma-Unterschied
Schon Andreas Werckmeister stellte fest, dass bis auf eine Genauigkeit von einem Schisma von 2 Cent die enharmonische Gleichsetzung möglich sind: ,his(2)=c(0) und ,cis(92)=des(90) usw.
Bisher haben wir nur die quintverwandten Tonarten betrachtet. Bei terzverwanden Tonarten verschieben sich die Töne um ein Komma.
Beispiel
C-Dur c d ,e f g ,a ,h c d ,e c-Moll c d 'es f g 'as 'b c d 'es 'Es-Dur 'es 'f g 'as 'b c d 'es a-Moll a h 'c d e 'f 'g a h 'c 'C-Dur 'c 'd e 'f 'g a h 'c
Eine Klaviatur mit 24 Tasten kann jede Tonart
von Ces-Dur bis H-Dur und von ,es-moll bis ,dis-moll
rein spielen ...
... Wenn man die Töne, die nur 2 Cent auseinander liegen, mittelt.
Rechnung in Cent mit Oktave: o=1200 Terz: t=1200*log2(5/4)=386,314 Quinte: q=1200*2(3/2)=701,955 syntonisches Komma s=1200*2(81/80)=21,506
,c=-s =- 21,506 c=0 = 0 ,his=12q-7o+,c= 1,954 des=-5q+3o = 90,225 ,cis=7q-4o+,c = 92,179 ,d=2q-o+,c = 182,404 ,es=-3q+2o+,c = 272,629 es=-3q+2o = 294,135 ,dis=9q-5o+,c = 296,089 fes=-8q+5o = 384,360 ,e=4q-2o+,c = 386,314 ,f=-q+o+,c = 476,539 f=-q+o = 498,045 ,eis=11q-6o+,c= 499,999 ges=-6q+4o = 588,270 ,fis=6q-3o+,c = 590,224 ,g=q+c = 680,449 g=q = 701,955 ,as=-4q+3o+,c = 770,674 as=-4q+3o = 792,180 ,gis=8q-4o+,c = 794,134 ,a=3q-o+,c = 884,359 ,b=-2q+2o+,c = 974,584 b=-2q+2o = 996,090 ,ais=10q-5o+,c= 998,044 ces=-7q+5o =1086,315 ,h=5q-2o+,c =1088,269 h=5q-2o =1109,775 |
 |
Quelle:Hermann von Helmholtz
Wie werden die Tonarten oben und unten gespielt?
| Ces-Dur o | ||||||||
| Ces-Dur u | ces | des | ,es | fes | ges | ,as | ,b | ces |
| Ges-Dur o | as | |||||||
| Ges-Dur u | ges | ,b | ces | des | ,es | ,f | ges | |
| Des-Dur o | es | as | ,c | |||||
| Des-Dur u | des | ,f | ges | ,b | des | |||
| As-Dur o | as | b | ,c | es | ,g | as | ||
| As-Dur u | des | ,f | ||||||
| Es-Dur o | es | f | ,g | as | b | ,c | ,d | es |
| Es-Dur u | ||||||||
| B-Dur o | b | ,d | es | f | ,g | ,a | b | |
| B-Dur u | c | |||||||
| F-Dur o | f | ,a | b | ,d | f | |||
| F-Dur u | g | c | ,e | |||||
| C-Dur o | f | ,a | ||||||
| C-Dur u | c | d | ,e | g | ,h | c | ||
| G-Dur o | ||||||||
| G-Dur u | g | a | ,h | c | d | ,e | ,fis | g |
| D-Dur o | e | |||||||
| D-Dur u | d | ,fis | g | a | ,h | ,cis | d | |
| A-Dur o | h | e | ,gis | |||||
| A-Dur u | a | ,cis | d | ,fis | a | |||
| E-Dur o | e | fis | ,gis | h | ,dis | e | ||
| E-Dur u | a | ,cis | ||||||
| H-Dur o | h | cis | ,dis | e | fis | ,gis | ,ais | h |
| H-Dur u | ||||||||
| Fis-Dur | - | - | - | - | - | - | - | - |
| gis fehlt | - | - | - | - | - | - | - | - |
Wie man dort nachlesen kann, zeigt Helmholtz, dass man alle Moll- und Dur-Akkorde des Quintezirkels rein spielen kann. (Mit einer Einschränkung: die Durterz der Dominante einer Molltonart kann häufig nur als pythagoreische Terz gespielt werden).
Siehe auch Eulerschreibweise
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