53: Joachim Mohr Mathematik Musik Pascal Delphi

J o a c h i m M o h r Mathematik Musik Programmieren

Die gleichstufige Stimmung mit 12 Tönen in der Oktave gleicht das pythagoreische Komma aus, das den Unterschied zwischen 12 Quinten und 7 Oktaven ausmacht. Es handelt sich dabei um einen Kompromiss in der Intonation mit der Toleranz von 14 Cent.

Die nächste Annäherung erfolgt bei 53 Quinten, die 31 Oktaven fast erreichen. Wenn man die Differenz auf die 53 Quinten verteilt, so sind die Unreinheiten nicht bemerkbar. Und - was nicht zu erwarten war: die 17 Stufe kommt zufälligerweise der reinen großen Terz sehr nahe. Die Abweichungen von der reinen Stimmung betragen maximal ein Schisma (2 Cent).

Diese Stimmung wird seit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit für die gute Intonation gelehrt. Der Musiktheoretiker Zarlino (1517–1590) lehrte dass die Tonleiter so zu intonieren ist, dass

der große Ganzton c-d 9 Teile,
der kleine d-,e 8 Teile und
der Halbton ,e-f 5 Teile hat.

Dies Teilt die Oktave wie oben beschrieben in 53 Teile.

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Die reine Stimmung, dargestellt im 53-er Parallelogramm von Tanaka Schoé

In seiner Dissertation Studien im Gebiete der reinen Stimmung zeigt Tanaka, dass es genügt, in der reinen Stimmung 53 Töne auszuwählen. Hier seine Darstellung in Eulerschreibweise.

    ,,,fis ,,,cis  ,,,gis   ,,,dis  ,,,ais   ,,,eis ,,,his  ,,,fisis
     24       2      33      11      42      20      51      29 
     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
   /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
  ,,d    ,,a     ,,e     ,,h     ,,fis   ,,cis   ,,gis   ,,dis   ,,ais  
  7      38      16      47      25       3      34      12      43      
   \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
    \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
     ,f       ,c      ,g      ,d      ,a     ,e      ,h      ,fis     ,cis 
      21     52      30       8      39      17      48      26       4    
       \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \ 
        \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
         \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
          as      es      b       f       c       g       d       a       e
          35      13      44      22      0      31       9      40       18
           \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
            \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
             \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
            'ces     'ges    'des    'as     'es     'b      'f      'c      'g 
              49     27       5       36     14      45      23       1      32
               \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \     / \
                \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \   /   \
                 \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \ /     \
                ''eses   ''bb    ''fes   ''ces   ''ges   ''des   ''as    ''es    ''b   
                 10      41      19      50       28       6      37      15      46

Er zeigt, dass auch in den äußersten Modulationsfällen, d.h. wenn die Töne außerhalb der Grenzen eines Parallelogramms zur Anwendung gebracht werden, man durch schismatische und kleismatische Verwechslungen keine weiteren Ausdehnung des Systems nenötigt.

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