Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

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Siehe auch Wikipedia

Rechenschema für
x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)

Herleitung hier

Gesucht: p,q und s,t mit:

 4    3   2           2         2
x + ax +bx +cx +d = (x +px+q)·(x +sx +t)

Lösung: Bestimme eine Lösung u der Gleichung 3. Grades 

    3     2         2          2         2
   u - 2bu + (ac + b - 4d)u + c - abc + a d = 0.

Falls a, b, c, d reell ist, gibt es ein reelles u mit 4u ≤ a2.
 
                                        3     2
Die Lösung der Gleichung 3. Grades mit u + a u + a u + a  mit
                                            2     1     0
                    2               2         2
a =-2b,  a = (ac + b - 4d) und a = c - abc + a d siehe hier.
 2        1                     0

Dann errechnen sich die Koeffizienten, p,q und s,t folgendermaßen. 

p_q_s_t
(Sonderfall a2-4u=0 d.h. p=a/2 siehe hier ...)

Rechenschema

Passende Koeffizienten a, b, c, d hier ändern
a=6                  
b=18
c=30
d=25
a2=-2*b
a1=a*c+b^2-4*d
a0=c^2+a^2*d-a*b*c
v=12*a1^3-3*a1^2*a2^2-54*a1*a2*a0+81*a0^2+12*a0*a2^3
w=(36*a1*a2-108*a0-8*a2^3+12*sqrt(v))^(1/3)
u=(w^2-12*a1+4*a2^2-2*a2*w)/(6*w)

z=sqrt(a^2-4*u)
p=(a+z)/2
q=((b-u)*(z+a)-2*c)/(2*z)
s=(a-z)/2
t=((b-u)*(z-a)+2*c)/(2*z)

probe_a=s+p
probe_b=t+p*s+q
probe_c=p*t+q*s
probe_d=q*t

x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)

probe1=x1^4+a*x1^3+b*x1^2+c*x1+d
probe2=x2^4+a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d
probe3=x3^4+a*x3^3+b*x3^2+c*x3+d
probe4=x4^4+a*x4^3+b*x4^2+c*x4+d

In Maple

a:=6;                  
b:=18;
c:=30;
d:=25;
a2:=-2*b;
a1:=a*c+b^2-4*d;
a0:=c^2+a^2*d-a*b*c;
v:=12*a1^3-3*a1^2*a2^2-54*a1*a2*a0+81*a0^2+12*a0*a2^3;
w:=(36*a1*a2-108*a0-8*a2^3+12*sqrt(v))^(1/3);
u:=simplify((w^2-12*a1+4*a2^2-2*a2*w)/(6*w));

z:=sqrt(a^2-4*u);
p:=simplify((a+z)/2);
q:=simplify(((b-u)*(z+a)-2*c)/(2*z));
s:=simplify((a-z)/2);
t:=simplify(((b-u)*(z-a)+2*c)/(2*z));

probe_a:=s+p;
probe_b:=t+p*s+q;
probe_c:=p*t+q*s;
probe_d:=q*t;

x1:=simplify(-p/2+sqrt((p/2)^2-q));
x2:=simplify(-p/2-sqrt((p/2)^2-q));
x3:=simplify(-s/2+sqrt((s/2)^2-t));
x4:=simplify(-s/2-sqrt((s/2)^2-t));

probe1:=x1^4+a*x1^3+b*x1^2+c*x1+d;
probe2:=x2^4+a*x2^3+b*x2^2+c*x2+d;
probe3:=x3^4+a*x3^3+b*x3^2+c*x3+d;
probe4:=x4^4+a*x4^3+b*x4^2+c*x4+d;
Bemerkung: Manche Rechenprogramm können u nicht weiter vereinfachen. Dann ergibt der Rest der Rechnung sehr komplizierte Ausdrücke.

Beispiel: x4+6x3+18x2+30x+25=0

a=6
b=18
c=30
d=25
p=3+3i
q=5*i
s=3-3i
t=-5*i
x1=-2-i
x2=-1-2i
x3=-1+2i
x4=-2+i

Beispiel: x4+x3+x2+x+1=0

ergibt die Einheitswurzeln von x5-1=0 cos(n·72°)+isin(n·72°) für n=1,2,3,4.
a=1 
b=1
c=1
d=1
p=1/2+(sqrt(1/2*sqrt(5)+5/4))*i
q=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i
s=1/2+(sqrt(1/2*sqrt(5)+5/4))*i
t=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i

x1=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i=cis(3*72°)
x2=(1/4*sqrt(5)-1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i=cis(4*72°)
x3=(1/4*sqrt(5)-1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i=cis(72°)
x4=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i=cis(2*72°)

Beispiel: x4-x3+x2-x+1=0

a=-1 
b=1
c=-1
d=1
p=(-1/2)+(sqrt(1/2*sqrt(5)+5/4))*i
q=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i
s=(-1/2)+(sqrt(1/2*sqrt(5)+5/4))*i
t=(-1/4-1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i

x1=(1/4+1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i=cis(36°+4*72°)
x2=(-1/4*sqrt(5)+1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i=cis(36°+3*72°)
x3=(-1/4*sqrt(5)+1/4)+(sqrt(1/8*sqrt(5)+5/8))*i=cis(36°+72°)
x4=(1/4+1/4*sqrt(5))+(sqrt(5/8-1/8*sqrt(5)))*i=cis(36°)

Beispiel: x4+2x3-14x2+2x+1=0

a=2 
b=-14
c=2
d=1
p=1-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17))                                     =-0,158941651
q=(-1/2-1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)))*(1/2*sqrt(17)-1/2-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)))=-0,07362017
s=1-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17))+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))                                     =2,158941651
t=(1/2*sqrt(17)-1/2+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)))*(-1/2-1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)))=-13,58323408

x1=-1/2-1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))=-0,203258342
x2==1/2*sqrt(17)-1/2-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17))=0,362199993
x3=1/2*sqrt(17)-1/2+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)) =2,760905633
x4=-1/2-1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17))=-4,919847284

Beispiel: x4+x3-4x2+x+1=0

a2=8
a1=13
a0=6
v=0
w=5+5isqrt(3)
u=-1
p=1/2+1/2*sqrt(5)
q=-1/2*sqrt(5)-3/2
s=-1/2*sqrt(5)+1/2
t=-3/2+1/2*sqrt(5)
x1=-3/2-1/2*sqrt(5)
x2=1
x3=1
x4=-3/2+1/2*sqrt(5)

Beispiel: x4+x3-3x2+x-4=0

a2=6
a1=26
a0=0
v=137904
w=6+2*sqrt(51)
u=0
p=0
q=1
s=1
t=-4
x1=i
x2=-i
x3=-1/2-1/2sqrt(17)
x4=-1/2+1/2sqrt(17)

Beispiel: x4+x2+2x+1=0

w=(-152+48*i*sqrt(51))^(1/3);
u=1/2+1/2*sqrt(17)
z=i*sqrt(2+2*sqrt(17))
p=1/2*i*sqrt(2+2*sqrt(17))
q=-1/4*sqrt(17)+1/4+1/4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17))
s=-1/2*i*sqrt(2+2*sqrt(17))
t=-1/4*sqrt(17)+1/4-1/4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17))
x1=-1/4*i*sqrt(2+2*sqrt(17))+1/4*sqrt(-6+2*sqrt(17)-4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17)))
  ≈-0,624810534-0,30024259i 
x2=-1/4*i*sqrt(2+2*sqrt(17))-1/4*sqrt(-6+2*sqrt(17)-4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17)))
  ≈0,624810534-1,30024259i
x3=1/4*i*sqrt(2+2*sqrt(17))+1/4*sqrt(-6+2*sqrt(17)+4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17)))
  ≈0,624810534+1,30024259i
x4=1/4*i*sqrt(2+2*sqrt(17))-1/4*sqrt(-6+2*sqrt(17)+4*i*sqrt(-2+2*sqrt(17)))
  ≈-0,624810534+0,30024259i

Beispiel: x4-12x3+1222-388x+1241=0

a=-12
b=122
c=-388
d=1241
a2=-244
a1=14576
a0=-238784
v=-400919887872
w=(13967360+4386816*I*sqrt(3))^(1/3)≈248+41,5692193816530552i
u=164

z=16*sqrt(2)*i
p=(-6)+8*sqrt(2)i
q=(-21)-20*sqrt(2)i
s=(-6)-8*sqrt(2)i
t=(-21)+20*sqrt(2)i

x1=(3-sqrt(2))+(4*sqrt(2)-2)*i≈1,585786438-3,656854249i
x2=(sqrt(2)+3)+(2+4*sqrt(2))*i≈4,414213562-7,656854249i
x3=(sqrt(2)+3)+(2+4*sqrt(2))*i≈4,414213562+7,656854249i
x4=(3-sqrt(2))+(4*sqrt(2)-2)*i≈1,585786438+3,656854249i

Herleitung Rechenschema
x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t) (Gleichung *)


 4    3   2           2         2
x + ax +bx +cx +d = (x +px+q)·(x +sx +t)

1. Schritt: Bestimme eine Lösung u der Gleichung 3. Grades 

    3     2
   u +a bu + a u + a  = 0 für
       2      1     0
                 2             2  2
a  =-2b, a = ac+b -4d und a = c +a d - abc
 2        1                0

Quelle

Eine Lösung u für u3+a2u2+a1x+a0=0 ergibt sich folgendermaßen

v=12*a1^3-3*a1^2*a2^2-54*a1*a2*a0+81*a0^2+12*a0*a2^3
w=(36*a1*a2-108*a0-8*a2^3+12*sqrt(v))^(1/3)
u=(w^2-12*a1+4*a2^2-2*a2*w)/(6*w)

Mit diesem Wert u erechnet sich p, q, r, s von (Gleichung *) folgendermßen:

z=sqrt(a^2-4*u)
p=(a+z)/2
q=((b-u)(z+a)-2c)/(2*z)
s=(a-z)/2
t=((b-u)(z-a)+2c)/(2*z)