Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Der Quintenzirkel von wohltemperierten Stimmungen im Vergleich zur gleichstufigen Stimmung

Ich verwende folgende Bezeichnungsweise:
Gerechnet wird modulo Oktave. Der gleichstufige Quintenzirkel wird folgendermaßen bezeichnet.
Tonbezeichnung [as] es b f c g d a e h fis cis gis
In Cent [800] 300 1000 500 0 700 200 900 400 1100 600 100 800
In einer 12-stufigen Tastatur mit gis gibt es keine as-Taste.
Gerechnet wird modulo 1200 Cent (Oktave). Dann ist c=0 Cent = 1200 Cent usw. In manchen Tabellen ist statt c = 0 Cent der Referenzwert a = 0 Cent und c = 300 Cent usw. Intervallberechnungen sind davon nicht betroffen. Zum Beispiel hat das Intervall von es nach g die Größe von 400 Cent. Beim Referenzwert c=0 Cent ist es das Intervall von (es=300 Cent) nach (g=700 Cent), beim Referenzwert a=0 Cent ist es das Intervall von (es=600 Cent) nach (g=1000 Cent).
x+n bedeutet: der Ton x wird um n Cent erhöht. x-n bedeutet: der Ton wird um n Cent erniedrigt (n ≥0).
Der reine Quintenzirkel hat dann die Darstellung
Tonbezeichnung [as-8] es-6 b-4 f-2 c g+2 d+4 a+6 e+8 h+10 fis+12 cis+14 gis+16
In Cent [792] 294 996 498 0 702 204 906 408 1110 612 114 816
In diesem Fall unterscheidet sich as-8=792 Cent von gis+16=816 Cent (beide gerundet) um das pythagoreische Komma=23,46 Cent. Da bei einer 12-stufigen Tastatur mit gis das as fehlt, erkling statt der reinen Quinte (Intervall von as-8 nach es-6) = 702 Cent der
"Wolf" (Intervall von gis+13 nach es-6) = 678 Cent

Rechnung:
(Intervall von gis+16 nach es-6) =
(es-6 - (gis+16)) =
(294 Cent - 816 Cent modulo 1200) =
(1494 Cent - 816 Cent) = 678 Cent
(genauer: 678,49499 Cent)

Die mitteltönige Stimmung

In der mitteltönigen Stimmung werden die Quinten im Quintenzirkel um 1/4 syntonisches Komma=5,37657 Cent enger gesetzt als im reinen Quintenzirkel. Im Vergleich zur gleichstufigen Quinte sind dann die Quinten 3,42157 Cent enger. In unserer Darstellungsweise lautet der mitteltönige Quintenzirkel:
[as+13,7] es+10,3 b+6,8 f+3,4 c g-3,4 d-6,8 a-10,3 e-13,7 h-17,1 fis-20,5 cis-24 gis-27,4
Hier unterscheiden sich gis-27 und as+14 um die kleine Diesis=41 Cent. Da bei einer 12-stufigen Tastatur mit gis das as fehlt, erkling statt der reinen Quinte (Intervall von as+14 nach es+10) der "Wolf" (Intervall von gis-27 nach es+10) = 737 Cent.
Dafür sind viele große Terzen rein:
as c=386 Cent. (Gibt es leider nicht bei einer 12-stufigen Tastatur mit gis.)
es g=386 Cent.
b d=386 Cent.
f a=389 Cent.
c e=386 Cent. reine Terz (Beachte c e = 400 Cent, c e-14 13,7 Cent weniger).
g h=386 Cent.
d fis=386 Cent.
a cis=386 Cent.
e gis=389 Cent.
Die restlichen Terzen sind unrein (Beachte die enharmonische Verwechslungen dis=es, ais=b, eis=f gis=as):
h dis=427 Cent (die "Wolfsterz" der mitteltönigen Stimmung)
fis ais=427 Cent
cis eis=427 Cent
gis his=427 Cent

Wohltemperierte Stimmungen

Herkommend von der mitteltönigen Stimmung wird bei den wohltemperierten Stimmungen versucht, bei C-Dur-nahen Tonleitern bessere Terzen zu erzielen jedoch die "Wolfs"-Quinte zu vermeiden. Diese Stimmungen sollten auch relativ leicht zu bewerkstelligen sein, damals ohne physikalische Hilfsmittel. Die gleichstufige Stimmung, die bald theoretisch bekannt war, konnte erstmals 1917 mit physikalischen Mitteln exakt verwirklicht werden.

Die gleichstufige Terz mit 400 Cent ist um 16 Cent höher als die reine Terz mit 386 Cent. Das ergibt einen rauen Klang. Die Quinten der mitteltönigen Stimmung unterscheiden sich von der reinen Quinte um 6 Cent. Das ergibt leichte Schwebungen und ist durchaus akzeptabel. Hören Sie sich dazu das Tonbeispiel hier an.

Hier wird in der theoretischen Darstellung vom gleichstufigen Quintenzirkel ausgegangen und die Abweichungen der wohltemperierten Quinten von der gleichstufigen Quinte angegeben.

Werckmeister III

Diese temperierte Stimmung fand weiten Gebrauch.
[as-7,8] es-5,9 b-3,9 f-2 c g-3,9 d-7,8 a-11,7 e-9,8 h-7,8 fis-11,7 cis-9,8 gi-7,8s
Wichtig sind die großen Terzen. Hier:
as c=408 Cent. (=gis his=406 Cent)
es g=402 Cent.
b d=396 Cent.
f a=390 Cent.
c e=390 Cent. (reine Terz 386 Cent)
g h=396 Cent.
d fis=396 Cent.
a cis=402 Cent.
e gis=402 Cent.
h dis=402 Cent
fis ais=408 Cent (pythagoreische Terz)
cis eis=408 Cent
gis his=408 Cent

Kirnberger III

as-7,82]
es-5,865
b-3,91
f-1,995
c
g-3,422
d-6,843
a-10,265
e-13,687
h-11,732
fis-9,777
cis-9,775
gis-7,82
Wichtig sind die großen Terzen. Hier:
as c=408 Cent. (=gis his=406 Cent)
es g=402 Cent.
b d=397 Cent.
f a=392 Cent.
c e=386 Cent. (reine Terz)
g h=392 Cent.
d fis=397 Cent.
a cis=400 Cent.
e gis=406 Cent.
h dis=406 Cent
fis ais=406 Cent
cis eis=408 Cent (pythagoreische Terz)
gis his=408 Cent

Valotti (1754)


Eine sehr konsquente Stimmung. Hier werden nämlich durch Verengung der Quinten f c g d a e h um 1/5 Komma die Terzen f-a, c-e und g-h auf 392 Cent gestimmt. Die restlichen Quinten sind dann rein.
[as-4] es-2 b f+2 c g-2 d-4 a-6 e-8 h-10 fis-8 cis-6 gis-4
Wichtig sind die großen Terzen. Hier:
as c=404 Cent. (=gis his=404 Cent)
es g=400 Cent.
b d=396 Cent.
f a=392 Cent.
c e=392 Cent. (reine Terz 386 Cent)
g h=392 Cent.
d fis=396 Cent.
a cis=400 Cent.
e gis=404 Cent.
h dis=408 Cent (pythagoreische Terz)
fis ais=408 Cent
cis eis=408 Cent
gis his=404 Cent

Wie stimmte J.S.Bach sein Clavichord

Es wird berichtet, dass J. S. Bach sein Clavichord in weniger als 15 Minuten stimmte. Lange rätselte man, wie er seine Quinten stimmte. Es gibt hierüber von Bach selbst oder seinen Zeitgenossen keine brauchbaren Aufzeichnungen.

Andreas Sparschuh entdeckte 1998 (und berichtete 1999 bei der Jahrestagung der Deutschen Mathematiker Vereinigung darüber) , dass man die Girlande auf dem Titelblatt von Bachs wohltemperierten Klavier, I. Teil, 1722 als Stimmungsanweisung interpretieren könnte. (Sparschuh, Andreas "Stimm-Arithmetik des wohltemperierten Klaviers von J.S. Bach" in Deutsche Mathematikervereinigung Jahrestagung, Band 1999, pp. 154-155.)

Die Girlande kann als Vorschrift zum Stimmen des Quintenzirkels gesehen werden, war es doch damals üblich, die Quinten, die im Quintenzirkel ja angepasst werden müssen, zu verengen. titelblatt_wohltemperiertes_klavier
Ab der Mitte sieht man Schleifen mit vielen Kringeln. Dies kann man als verengte Quinten deuten. Links davon sind drei Kringeln ohne Schleifen, was als reine Quinten gedeutet werden kann. Dann links davon noch drei Schleifen, bei dennen die Kringel anders herum verlaufen. Dies kann man als erweiterte Quinten deuten.

J.S. Bach nach Bradley Lehmann

Bradley Lehmann bezeichnette Sparschuhs Entdeckung als Stein von Rosette für die Interpretation von Bachs wohltemperierten Klavier und interpretierte die Girlande folgendermaßen.
[as-2] b-2 f+2 c g-2 d-4 a-6 e-8 h-6 fis-4 cis-2 gis-2
Wichtig sind die großen Terzen. Hier:
as c=402 Cent. (=gis his=402 Cent)
es g=400 Cent.
b d=398 Cent.
f a=392 Cent.
c e=392 Cent. (reine Terz 386 Cent)
g h=396 Cent.
d fis=400 Cent.
a cis=404 Cent.
e gis=406 Cent.
h dis=404 Cent (pythagoreische Terz 408 Cent)
fis ais=402 Cent
cis eis=404 Cent
gis his=402 Cent