Olaf Tamschke

Projektive Ebenen

nach Olaf Tamschke
Projektive Räume . Affine Ebenen . mehr aff proj. lecture notes.
Parallelogramm der Kräfte. Zentralprojektionen
Beutelsbacher .Galois

Projektive Räume

Affine Ebenen

Aus Lexikon der Mathematik

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Galois, Évariste

französischer Mathematiker, geb. 25.10.1811 Bourg-la-Reine/bei Paris, gest. 31.5.1832 Paris.
Galois wurde als Sohn des Direktors einer Internatsschule in Bourg-la-Reine geboren. In einer politisch bewegten Zeit erzog der Vater, der ab 1815 Bürgermeister des Ortes war, seinen Sohn zu einem Verfechter republikanischer Gedanken. 1823 bis 1829 besuchte Galois das Collège Louis-le-Grand in Paris. Der Mathematiklehrer L.-P. Richard (1785-1839) erkannte Galois’ mathematisches Talent und regte ihn zum Studium klassischer Werke von Gauß, Legendre und Lagrange an.

Noch als Schüler publizierte Galois seine erste mathematische Arbeit über Kettenbrüche, bei der Aufnahmeprüfung für die École Polytechnique fiel er jedoch zweimal durch, mindestens einmal weil er sich weigerte, die einfachen Fragen der Prüfer im Detail zu beantworten. Ab Oktober 1829 besuchte er die École Préparatoire, die ehemalige École Normale.

1830 schloß er sich der republikanischen Bewegung an und betätigte sich aktiv für deren Ziele. Seine in einer oppositionellen Zeitung publizierte Kritik an der Haltung des Schuldirektors zur Julirevolution 1830 hatte den Verweis von der Schule zur Folge, worauf sich Galois vorrangig politisch betätigte und der Nationalgarde beitrat. Zweimal wurde er inhaftiert, zuletzt vom Juli 1831 bis April 1832. Im Gefängnis setzte er seine mathematischen Forschungen fort, überarbeitete einen früheren Artikel und arbeitete an einer Zusammenfassung seiner Ergebnisse. Die Enttäuschung über eine unglückliche Liebe, die wiederholte Ablehnung seiner Arbeiten durch die Pariser Akademie, eine falsche Beurteilung der politischen Situation und weitere nicht mehr nachvollziehbare Umstände veranlaßten Galois, sich auf ein für ihn aussichtsloses Duell einzulassen. An den dabei erlittenen Verletzungen verstarb er.

Galois erzielte grundlegende Ergebnisse zur Auflösungstheorie algebraischer Gleichungen und leitete mit seinen Arbeiten eine methodologische Wende in der Algebra ein, aus der letztlich die moderne Algebra als Lehre von den algebraischen Strukturen und ihren gegenseitigen Beziehungen hervorging. Angeregt durch die Arbeiten Abels zur Gleichungstheorie und anknüpfend an Resultate von Lagrange, Gauß und Cauchy ordnete Galois jeder algebraischen Gleichung eindeutig eine Gruppe Galois-Theorie zusammenfaßt. Auf dieser Basis konnte er z. B. die Auflösbarkeit in Radikalen für irreduzible Gleichungen vom Primzahlgrad dadurch charakterisieren, daß sich alle Wurzeln der Gleichung durch zwei dieser Wurzeln rational ausdrücken lassen. Außerdem deutete er Anwendungen seiner Theorie auf die Modulargleichungen elliptischer Funktionen an. Ein weiteres Feld der Galoisschen Forschung waren Untersuchungen über Funktionenkongruenzen. Dabei enthüllte er wichtige Eigenschaften endlicher Körper, die heute auch als Galois-Felder bezeichnet werden.

Galois’ Arbeiten waren schwer verständlich, da er viele Ideen und Beweise nur skizzierte. Am Abend vor dem Duell faßte er in einem Brief an seinen Freund A. Chevalier die wichtigsten Ideen und Resultate seiner Theorie zusammen und rief Gauß und Jacobi als Richter über die Bedeutung seines Schaffens an. Aber erst nach der Veröffentlichung des Nachlasses von Galois durch Liouville wurden allmählich die genialen Ideen des jungen Rebells von anderen Mathematikern erschlossen und für die weitere Entwicklung der Mathematik wirksam. Bei allen jungendlichen Übermut und trotz des fragmentarischen Charakters der Darlegungen dokumentieren die im Nachlaß gefundenen Notizen zur Entwicklung der Mathematik und zur Wissenschaft den Weitblick Galois’ auch in diesen über mathematische Inhalte hinausgehenden Problemen.

Zentralprojektionen in der projektiven Ebene

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Zentralprojektionen im projektiven Raum

Beutelsbacher