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Das erweiterte Eulerschen Tonnetz

Zweck: Eine Notation für die 1/4-mitteltönige Stimmung.

Wir unterteilen die Bezeichnung des Eulerschen Tonnetzes um 1/4 syntonisches Komma:
Zum Beispiel bedeutet ".g" ("Tiefpunkt g"): Der Ton g wurde um ein 1/4 syntonisches Komma erniedrigt. Vier Tiefpunkte ergeben dann eine Erniedrigung um ein Komma: "....g=,g" etc.
Ensprechend bedeutet "Hochpunkt "°g": Der Ton g wurde um 1/4 syntonisches Komma erhöht.
Es handelt sich hier um reine Quintenketten.
...

...  .,es  .,b  .,f  .,c  .,g  .,d  .,a ... Erniedrigung um 5/4 syntonisches Komma

...   ,es   ,b   ,f   ,c   ,g   ,d   ,a ... Erniedrigung um  1  syntonisches Komma

... ...es ...b ...f ...c ...g ...d ...a ... Erniedrigung um 3/4 syntonisches Komma

...  ..es  ..b  ..f  ..c  ..g  ..d  ..a ... Erniedrigung um 1/2 syntonisches Komma

...   .es   .b   .f   .c   .g   .d   .a ... Erniedrigung um 1/4 syntonisches Komma

...    es    b    f    c    g    d    a ... Kette von reinen Quinten (702)

...   °es   °b   °f   °c   °g   °d   °a ... Erhöhung um 1/4 syntonisches Komma

...  °°es  °°b  °°f  °°c  °°g  °°d  °°a ... Erhöhung um 2/4 syntonisches Komma

... °°°es °°°b °°°f °°°c °°°g °°°d °°°a ... Erhöhung um 3/4 syntonisches Komma

...   'es   'b   'f   'c   'g   'd   'a ... Erhöhung um  1  syntonisches Komma

...  °'es  °'b  °'f  °'c  °'g  °'d  °'a ... Erhöhung um  5/4  syntonisches Komma

...
Die Punkte und Kommata stehen vor den Tonbezeichnungen (Komma oder Punkt als Satzzeichen dahinter, falls nötig).

Die mitteltönige Stimmung im erweiterten Eulerschen Tonnetz

Bei der mitteltönigen Stimmung sind die Quinten im Quintenzirkel jeweils um 1/4 syntonisches Komma verkleinert, damit nach vier Quinten eine reine Terz erklingt. 0musiklekt7mittelt Die Centwerte der Töne (mit der Normierung c=0) errechnen mit o=1200 (Oktave) q=1200lb(3/2) (Quinte), k=1200lb(81/80) (syntonisches Komma) und mq=q-1/4k (mitteltönige Quinte) auf die gleiche Oktave versetzt (modulo 1200) zu:
°°°'ces=-7mg+5o=1123,951

°°'ges=-6mq+4o=620,529

°'des=-5mq+3o=117,108

'as=-4mq+3o=813,686

- - - Beginn der 12-stufigen Tastatur - - -

°°°es=-3mq+2o=310,265

°°b=-2mq+2o=1006,843

°f=-mq-o=503,422

c=0

.g=mq=696,578

..d=2mq-o=193,157

...a=3mq-o=889,735

,e=4mq-2o1=386,314

.,h=5mq-2o=1082,892

..,fis=6mq-3o=579,471

...,cis=7mq-4o=76,049

,,gis=8mq-4o=772,627

- - - Ende der 12-stufigen Tastatur ---

.,,dis=9mq-5o=269,206

..,,ais=10mq-5o=965,784

...,,eis=11mq-6o=462,363

,,,his=12mq-6o=1158,941

In der 12-er Tastatur:
   cis       es            fis     gis       b
   76       310            579     773      1007
c       d          e    f        g       a        h     c
0      193        386  503      697     890      1083  1200
Alternativ:
   des      dis        eis ges     as       ais        his
   117      269        462 621     814      966        1159

Darstellung in mitteltöniger Stimmung

Quintenzirkel: ''fes °°°'ces °°'ges °'des (bis hierher nur theoretisch)
'as °°°es °°b °f c .g ..d ...a ,e .,h ..,fis ...,cis
(Ab hier nur Theoretisch:) ,,gis .,,dis ..,,ais ...,,eis ,,his
C-Dur-Tonleiter: c ..d ,e °f .g ...a .,h c
Die Ganztonschritte c ..d und ..d ,e (Abweichung vom reinen Quintenzirkel: minus zwei Punkte, wobei Punkt=1/4 synth. Komma) und die Halbtonschritte ,e °f und .,h c (Abweichung vom Quintenzirkel: plus 5 Punkte).
F-Dur-Tonleiter: °f .g ...a °°b c ..d ,e °f
G-Dur-Tonleiter: .g ...a .,h c ..d ,e ..,fis .g

Darstellung der C-Dur-Tonleiter mit Centangaben

c(0) ..d(193) ,e(386) °f(503) .g(697) ...a(890) .,h(1083) c(1200)

Die Kadenzakkorde sind dann
Tonika        c   ,e   .g  
Subdominante °f ...a    c
Dominante    .g  .,h  ..d


mit den mitteltönigen Quinten(697)
c .g
°f c
.g ..d

den reinen großen Terzen(386)
c ,e
°f ...a
.g .,h

und den mitteltönigen kleinen Terzen(310)
,e .g
...a c
.,h ..d
Die Verstimmung der Quinten und kleinen Terzen sind bei der mitteltönigen Stimmung so gering (1/4 syntonisches Komma), dass sie zwar durch leichte Schwebungen erkennbar sind, jedoch nicht "rau" erklingen.
Gleich aufgebaut sind folgende Tonleitern im Quintenzirkel
...a    .,h  ...,cis     ..d     ,e   ..,fis    ,,gis   ...a
 ..d     ,e   ..,fis      .g   ...a      .,h  ...,cis    ..d
  .g   ...a      .,h       c    ..d       ,e   ..,fis     .g
   c    ..d       ,e      °f     .g     ...a      .,h      c
  °f     .g     ...a    °° b      c      ..d       ,e     °f
 °°b      c      ..d   °°°es     °f       .g     ...a    °°b
Möchte man weitere Tonarten einfügen, so muss man mehr als 12 Tasten verwenden.

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