Joachim Mohr Mathematik Musik
Das erweiterte Eulerschen Tonnetz
Zweck: Eine Notation für die 1/4-mitteltönige Stimmung.Wir unterteilen die Bezeichnung des Eulerschen Tonnetzes um 1/4 syntonisches Komma:
Zum Beispiel bedeutet ".g" ("Tiefpunkt g"): Der Ton g wurde um ein 1/4 syntonisches Komma erniedrigt. Vier Tiefpunkte ergeben dann eine Erniedrigung um ein Komma: "....g=,g" etc.
Ensprechend bedeutet "Hochpunkt "°g": Der Ton g wurde um 1/4 syntonisches Komma erhöht.
Es handelt sich hier um reine Quintenketten.
... ... .,es .,b .,f .,c .,g .,d .,a ... Erniedrigung um 5/4 syntonisches Komma ... ,es ,b ,f ,c ,g ,d ,a ... Erniedrigung um 1 syntonisches Komma ... ...es ...b ...f ...c ...g ...d ...a ... Erniedrigung um 3/4 syntonisches Komma ... ..es ..b ..f ..c ..g ..d ..a ... Erniedrigung um 1/2 syntonisches Komma ... .es .b .f .c .g .d .a ... Erniedrigung um 1/4 syntonisches Komma ... es b f c g d a ... Kette von reinen Quinten (702) ... °es °b °f °c °g °d °a ... Erhöhung um 1/4 syntonisches Komma ... °°es °°b °°f °°c °°g °°d °°a ... Erhöhung um 2/4 syntonisches Komma ... °°°es °°°b °°°f °°°c °°°g °°°d °°°a ... Erhöhung um 3/4 syntonisches Komma ... 'es 'b 'f 'c 'g 'd 'a ... Erhöhung um 1 syntonisches Komma ... °'es °'b °'f °'c °'g °'d °'a ... Erhöhung um 5/4 syntonisches Komma ...Die Punkte und Kommata stehen vor den Tonbezeichnungen (Komma oder Punkt als Satzzeichen dahinter, falls nötig).
Die mitteltönige Stimmung im erweiterten Eulerschen Tonnetz
Bei der mitteltönigen Stimmung sind die Quinten im Quintenzirkel jeweils um 1/4 syntonisches Komma verkleinert, damit nach vier Quinten eine reine Terz erklingt.
Die Centwerte der Töne (mit der Normierung c=0) errechnen mit o=1200 (Oktave)
q=1200lb(3/2) (Quinte), k=1200lb(81/80) (syntonisches Komma) und mq=q-1/4k (mitteltönige Quinte)
auf die gleiche Oktave versetzt (modulo 1200) zu:
°°°'ces=-7mg+5o=1123,951 °°'ges=-6mq+4o=620,529 °'des=-5mq+3o=117,108 'as=-4mq+3o=813,686 - - - Beginn der 12-stufigen Tastatur - - - °°°es=-3mq+2o=310,265 °°b=-2mq+2o=1006,843 °f=-mq-o=503,422 c=0 .g=mq=696,578 ..d=2mq-o=193,157 ...a=3mq-o=889,735 ,e=4mq-2o1=386,314 .,h=5mq-2o=1082,892 ..,fis=6mq-3o=579,471 ...,cis=7mq-4o=76,049 ,,gis=8mq-4o=772,627 - - - Ende der 12-stufigen Tastatur --- .,,dis=9mq-5o=269,206 ..,,ais=10mq-5o=965,784 ...,,eis=11mq-6o=462,363 ,,,his=12mq-6o=1158,941 In der 12-er Tastatur: cis es fis gis b 76 310 579 773 1007 c d e f g a h c 0 193 386 503 697 890 1083 1200 Alternativ: des dis eis ges as ais his 117 269 462 621 814 966 1159
Darstellung in mitteltöniger Stimmung
Quintenzirkel: ''fes °°°'ces °°'ges °'des (bis hierher nur theoretisch)'as °°°es °°b °f c .g ..d ...a ,e .,h ..,fis ...,cis
(Ab hier nur Theoretisch:) ,,gis .,,dis ..,,ais ...,,eis ,,his
C-Dur-Tonleiter: c ..d ,e °f .g ...a .,h c
Die Ganztonschritte c ..d und ..d ,e (Abweichung vom reinen Quintenzirkel: minus zwei Punkte, wobei Punkt=1/4 synth. Komma) und die Halbtonschritte ,e °f und .,h c (Abweichung vom Quintenzirkel: plus 5 Punkte).
F-Dur-Tonleiter: °f .g ...a °°b c ..d ,e °f
G-Dur-Tonleiter: .g ...a .,h c ..d ,e ..,fis .g
Darstellung der C-Dur-Tonleiter mit Centangaben
c(0) ..d(193) ,e(386) °f(503) .g(697) ...a(890) .,h(1083) c(1200)Die Kadenzakkorde sind dann
Tonika c ,e .g Subdominante °f ...a c Dominante .g .,h ..d
mit den mitteltönigen Quinten(697)
c .g
°f c
.g ..d
den reinen großen Terzen(386)
c ,e
°f ...a
.g .,h
und den mitteltönigen kleinen Terzen(310)
,e .g
...a c
.,h ..d
Die Verstimmung der Quinten und kleinen Terzen sind bei der mitteltönigen Stimmung so gering (1/4 syntonisches Komma), dass sie zwar durch leichte Schwebungen erkennbar sind, jedoch nicht "rau" erklingen.
Gleich aufgebaut sind folgende Tonleitern im Quintenzirkel
...a .,h ...,cis ..d ,e ..,fis ,,gis ...a ..d ,e ..,fis .g ...a .,h ...,cis ..d .g ...a .,h c ..d ,e ..,fis .g c ..d ,e °f .g ...a .,h c °f .g ...a °° b c ..d ,e °f °°b c ..d °°°es °f .g ...a °°bMöchte man weitere Tonarten einfügen, so muss man mehr als 12 Tasten verwenden.
Weiterlesen Archicembalo
Das Archicembalo ist ein Tasteninstrument mit 36 Tasten pro Oktave auf zwei Manualen, das 1555 von dem italienischen Musiktheoretiker und Komponisten Nicola Vicentino.