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Vertiefung zur Lektion 2

Mathematische Vertiefung zur reinen Stimmung

Die Reine Stimmung entstand mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit. In den Akkordverbindungen werden die reinen Intervalle Oktave, Quinte und Terz benutzt. Sie erfordert für die Harmonie der Akkorde beim Übergang zu anderen Tonarten eine Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe, die nur Sänger oder vergleichbare Instrumente aufbringen können. Die Stimmung (Temperierung) für Tasteninstrumenten wandelte sich deshalb über die mitteltönigen Stimmungen und wohltemperierten Stimmungen zur gleichstufige Stimmung.

Satz: Die Oktave Ok, die Quinte Qui und die große Terz gT sind die Grundintervalle der reinen Stimmung.
Deshalb nennt man dieses System auch das Quint-Terz-System

Näheres dazu im Abschnitt Die reine Stimmung

Das heißt: Alle in Lektion 1 erwähnten Intervalle kann man damit zusammensetzen.

Beweis :
Die Oktave Ok Grundintervall
Die Quinte Qui Grundintervall
Die Quarte Qua = Ok - Qui
Die große Terz gT Grundintervall
Die kleine Sext kSext = Ok - gT
Die kleine Terz kT = Qui - gT
Die große Sext gSext = Ok - (Qui -gT) = Ok + gT - Qui
Der große Ganzton G = Qui + Qui - Ok
Der kleine Ganzton G- = gT - G = Ok + gT - Qui - Qui
Die kleine Septime kSept = Ok - G = 2Ok - 2Qui
Die kleine Septime kSept+ = Ok - (G-) = Qui + Qui - gT
Der Halbton H = Qua - gT = Ok - Qui -gT
Die große Septime gSept = Ok - H = Qui + gT

Mit diesen Intervallen kann man die reine Dur- und Molltonleiter aufbauen.

Reine Tonleiter heißt: Die Dreiklänge der Tonika, Dominante und Subdominante sind aus reinen großen und kleinen Terzen aufgebaut.

Zum Beispiel berechnen sich in der C-Durtonleiter mit dem Grundton c' mit 264 Hz die übrigen Töne mit ihren Frequenzen folgendermaßen:
Ton + Intervall Berechnung der Frequenz Bemerkung
c' + gT = e' 264·5/4 = 330
e' + kT = g' 330·6/5 = 396
g' + gT = h' 396·5/4 = 495
h' + kT - Ok = d' 495·6/5:2 = 297
c' + Ok = c'' 264·2 = 528
c'' - kT = a' 528:(6/5) = 440
a' - gT = f' 440:(5/4) = 352


Zur C-Dur-Tonleiter gehören folglich folgende Frequenzen:

c' d' e' f' g' a' h' c''
264 297 330 352 396 440 495 528


Entsprechend kann man die c-Moll-Tonleiter so berechnen, dass die Mollakkorde c'es'g', g'b'd'' und f'as'c' aus kleiner Terz und großer Terz aufgebaut sind.

Zur C-Moll-Tonleiter (harmonisch absteigend) gehören folglich folgende Frequenzen:

c' d' es' f' g' as' b' c''
264 297 316,8 352 396 422,4 475,2 528