Mathematische Vertiefung zur reinen Stimmung

Die Reine Stimmung entstand mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit. In den Akkordverbindungen werden die reinen Intervalle Oktave, Quinte und Terz benutzt. Sie erfordert für die Harmonie der Akkorde beim Übergang zu anderen Tonarten eine Flexibilität in der Anpassung der Tonhöhe, die nur Sänger oder vergleichbare Instrumente aufbringen können. Die Stimmung (Temperierung) für Tasteninstrumenten wandelte sich deshalb über die mitteltönigen Stimmungen und wohltemperierten Stimmungen zur gleichstufige Stimmung.

Satz: Die Oktave Ok, die Quinte Qui und die große Terz gT sind die Grundintervalle der reinen Stimmung.
Deshalb nennt man dieses System auch das Quint-Terz-System

Näheres dazu im Abschnitt Die reine Stimmung

Das heißt: Alle in Lektion 1 erwähnten Intervalle kann man damit zusammensetzen.

Beweis :

Die Oktave	Ok Grundintervall
Die Quinte	Qui Grundintervall
Die Quarte	Qua = Ok - Qui
Die große Terz	gT Grundintervall
Die kleine Sext	kSext = Ok - gT
Die kleine Terz	kT = Qui - gT
Die große Sext	gSext = Ok - (Qui -gT) = Ok + gT - Qui
Der große Ganzton	G = Qui + Qui - Ok
Der kleine Ganzton	G- = gT - G = Ok + gT - Qui - Qui
Die kleine Septime	kSept = Ok - G = 2Ok - 2Qui
Die kleine Septime	kSept+ = Ok - (G-) = Qui + Qui - gT
Der Halbton	H = Qua - gT = Ok - Qui -gT
Die große Septime	gSept = Ok - H = Qui + gT

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Mit diesen Intervallen kann man die reine Dur- und Molltonleiter aufbauen.

Reine Tonleiter heißt: Die Dreiklänge der Tonika, Dominante und Subdominante sind aus reinen großen und kleinen Terzen aufgebaut.

Zum Beispiel berechnen sich in der C-Durtonleiter mit dem Grundton c' mit 264 Hz die übrigen Töne mit ihren Frequenzen folgendermaßen:

Ton + Intervall	Berechnung der Frequenz Bemerkung
c' + gT = e'	264·5/4 = 330
e' + kT = g'	330·6/5 = 396
g' + gT = h'	396·5/4 = 495
h' + kT - Ok = d'	495·6/5:2 = 297
c' + Ok = c''	264·2 = 528
c'' - kT = a'	528:(6/5) = 440
a' - gT = f'	440:(5/4) = 352

Zur C-Dur-Tonleiter gehören folglich folgende Frequenzen:

c'	d'	e'	f'	g'	a'	h'	c''
264	297	330	352	396	440	495	528

Entsprechend kann man die c-Moll-Tonleiter so berechnen, dass die Mollakkorde c'es'g', g'b'd'' und f'as'c' aus kleiner Terz und großer Terz aufgebaut sind.

Zur C-Moll-Tonleiter (harmonisch absteigend) gehören folglich folgende Frequenzen:

c'	d'	es'	f'	g'	as'	b'	c''
264	297	316,8	352	396	422,4	475,2	528