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Logik mit den Aufgaben

Lösungen der Logikaufgaben



Lösungen:
Hinweis: (w) heißt: "Die Aussage ist wahr (richtig)", (f) heißt: "Die Aussage ist falsch".

1 a) Es gibt x ε R mit x2 = 2 (w, x=√ 2).
   b) Für alle n ε N: n2 ist nicht Primzahl (f, 12=1 ist keine Primzahl).
   c) Es gibt x ε N: 2x = 1024 (w, x=32).
   d) Für alle q ε Q: q2 > 0 (f, da 02 > 0 falsch ist ).

2 a)Es gibt x ε R so, dass für alle ε > 0 gilt: |2 - x| < ε (w, x=2).
   b)Für alle x,y ε R gilt: Wenn für alle ε > 0 gilt: |x - y| < ε, dann folgt x = y (w).
   c) Es gibt a ε R mit a > 0 so, dass für alle n aus N gilt: a < 1/n (f).
   d) Für alle n ε N gilt: Ist n2 gerade, dann ist auch n gerade (w).

Zu Aufgabe 2a: Die Antwort x=2 ist klar. Schwieriger ist es, zu beweisen, dass x=2 die einzige Lösung ist (dies folgt aus 2c).

Zu Aufgabe 2b: Die Annahme x ≠ y führt mit ε = 1/2·|y-x| > 0 zu einem Widerspruch.

Zu Aufgabe 2c: Es gilt die Negation: Für alle a ε R gilt: Ist |a| < 1/n für alle n ε N, dann ist a=0 (w).
Das nennt sich das Archimedische Axiom und dieses lässt sich mit Hilfe der Vollständigkeit von R beweisen.

Zu Aufgabe 2d: Dieser Satz wird mit Hilfe der Kontraposition (siehe unten) bewiesen.

Zum Trost für alle, deren Gehirnwindungen sich jetzt verknotet haben: Diese Lektion soll Ihnen das Verständnis solcher verzwickten Verschachtelungen erleichtern. Nach etwas Übung (und öftrene Überschlafens) werden Sie einiges davon so verinnerlicht haben, dass es Ihnen ganz geläufig wird.

3 a) (5 + 2 = 7) und (7 - 2 = 5) (w, da beide Aussagen wahr sind).
   b) Es gibt x ε R mit (x < 0) und (x2 = 2) (w, da für x = -√ 2 beide Aussagen wahr sind)
   c) (1·1 = 1) oder (1·1 = 0) (w, da eine der Aussagen wahr ist).

4 a) Für alle n ε N gilt: (n ist Primzahl) oder (n ist gerade) (f, zum Beispiel sind für n=15 beide Aussagen falsch).
   b) Es gibt n ε N: (n ist Primzahl) und (n ist gerade) (w, da für n=2 beide Aussagen wahr ist).
   c) Für alle Primzahlen p gilt: (p ist ungerade) oder (p = 2)
        (w, da für p = 2 die zweite Aussage wahr ist und für eine Primzahl p > 2 stets die erste wahr ist).

5. Behauptung: Für alle n ε N gilt: Wenn n durch 6 teilbar ist, dann ist n gerade.

Beweis: Ist n durch 6 teilbar, also ein Vielfaches von 6, etwa n = 6·k =2·3·k (k ε N),
dann ist n auch ein Vielfaches von 2, also eine gerade Zahl.

6 a) Wenn 1+1=2 (w), dann 2+1=3(w). Die Implikation ist insgesamt (w),
   b) Wenn 1+1=1 (f), dann 2+1=2(f). Die Implikation ist insgesamt (w).
   c) Wenn 5=9 (f), dann 4=4 (w). Die Implikation ist insgesamt (w).

7a)Wenn 2+4=6 (w), dann 3*8=16 (f). Die Implikation ist insgesamt (f).
   b) Wenn 5 < 2 (f), dann 9+1=0 (f). Die Implikation ist insgesamt (w)
   c) Wenn Reinhold Messner die Wurmlinger Kapelle erstiegen hat (f, das ist mir bekannt),
       dann verspeiste Joachim Mohr einen Besen (f). Die Implikation ist insgesamt (w)

Während man bei Aufgabe 6b) die Aussage noch beweisen kann ("Addiere bei der Gleichung auf beiden Seiten 1"), erschlißt sich bei Übung 7 der Wahrheitsgehalt der Implikation nur formal.