Fehler: in 000nav.txt ist nicht "gleichung4maple.php" aufgeführt! Gleichung4maple: Joachim Mohr Mathematik Musik Pascal Delphi
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Lösung der kubischen Gleichung

Quelle Nr. 9

Gegeben ist die Gleichung x^3+a2x^2+a1x+a0=0
I) Berechne die Diskriminante D3 aus a0, a1 und a2.

D3=(x1-x2)^2(x2-x3)^2*(x1-x3)^2=a2^2a1^2+18a2a1a3-4a2^3a0-4a1^3-27a0^2

II) W=√D3 (Eine der zwei Wurzeln)
III) Berechne b1^3, b2^3 aus a0, a1, a2 und W nach:

b1^3=-a2^3+9/2a2a1-27/2a0-3/2i√·W, b2^3 dieselbe Formel nur für W die zweite Wurzel.

IV Ziehe die dritte Wurzel für b1 und b2, b0=-a2 und errechne mit w=(dritte Wurzel von 1) x1,x2,x3

x1=(1/3(b0+w^2b1+wb2)
x2=(1/3(b0+wb1+w^2b2)
x1=(1/3(b0+b1+b2)
Ein Problem dabei ist: Es gibt ja 3 dritte Wurzeln von b1^3 und b2^3. Man muss die richtige finden. Aber auch das ist lösbar.

Fertig!
Maple: 
restart: a:=-3; b:=-3; c:=-1; pol:=x^3+a*x^2+b*x+c;d3:=a^2*b^2+18*a*b*c-4*a^3*c-4*b^3-27*c^2; w:=sqrt(d3);
>  om:=-1/2+I*sqrt(3)/2; simplify(om^3); simplify(om^2+om+1);
> b0:=-a; z:=-a^3+9/2*a*b-27/2*c-3/2*I*sqrt(3)*w; b1:=z^(1/3);
> z:=-a^3+9/2*a*b-27/2*c-3/2*I*sqrt(3)*(-w); b2:=z^(1/3);
> x1:=1/3*(b0+om^2*b1+om*b2); x2:=1/3*(b0+om*b1+om^2*b2); x3:=1/3*(b0+b1+b2);
> x:=x2; simplify(x^3+a*x^2+b*x+c);
Ergebnis:

                                       2    (1/3)
  x1 := 1 + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3))  108

                                         (1/3)
         + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3)) 54

                                           (1/3)
  x2 := 1 + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3)) 108

                                      2   (1/3)
         + 1/3 (- 1/2 + 1/2 I sqrt(3))  54

                                  (1/3)         (1/3)
                 x3 := 1 + 1/3 108      + 1/3 54

Gleichung 4. Grades in Maple

x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t) 

restart;
a:=-4;b:=-4;c:=8;d:=-2; p:=-2*b; pol:=x^4+a*x^3+b*x^2+c*x+d; q:=a*c+b*b-4*d; 
  r:=c*c-a*b*c+a*a*d; gl:=u^3+p*u^2+q*u+r;
solve(gl,u); u:=-4; #Hier_passendes_u_einsetzen
p:=(a+sqrt(a*a-4*u))/2; z:=(b-u)*(sqrt(a*a-4*u)+a)-2*c; 
  n:=2*sqrt(a*a-4*u); q:=z/n;
s:=(a-sqrt(a*a-4*u))/2; z:=(b-u)*(sqrt(a*a-4*u)-a)+2*c; n:=2*sqrt(a*a-4*u); t:=z/n;
gl1:=(x^2+p*x+q); gl2:=x^2+s*x+t; pol:=expand(gl1*gl2);
x1:=simplify(-p/2+sqrt((p/2)^2-q));x2:=simplify(-p/2-sqrt((p/2)^2-q)); 
x3:=simplify(-s/2+sqrt((s/2)^2-t));x4:=simplify(-s/2-sqrt((s/2)^2-t));
pol:=expand((x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4));
Bemerkungen:
Zu Zeile 2: Erst, nachdem die Gleichung in u gelöst wurde (hier mit der Lösung u=2), wird der Wert für u abgelesen und hier eingesetzt.