Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Beispiel: n=5 Gesucht: Lösungen von x⁵=1

Das regelmäßige 5-Eck

ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)  
      
 2             
ς =cis(144°) 

 3
ς =cis(216°)  

 4             
ς =cis(288°)  

 5            0
ς =cis(360°)=ς =1 
            

      5
{x∈ℂ|x =1} = {1,ς,ς2,ς3,ς4}

                                      2πi
für ς=cis(72°)=cos(72°)+isin(72°)=exp(———)
                                       5

Die 5. Einheitswurzeln G={1,ς,ς²,ς³,ς⁴} bilden bez. der Multplikation ein Gruppe, die isomorph zu additiven Gruppe ℤ₅=ℤ/5ℤ bezüglich der Isomorphie σ(n)=ςⁿ (n∈{ 0, 1 2 3 4} ist.
Hier erzeugen alle Elemente ≠ 1 die Gruppe G=‹ς›=‹ς²›=‹ς³›=‹ς⁴›, da φ(5)=4 (φ=Eulersche Funktion).

Beispiel: n=9 Gesucht: Lösungen von x⁹=1

Die Löungen der
Gleichung x⁹=1 sind die Einheitswurzeln
1, ς=cis(40°), ς², ς³, ς⁴, ς⁵, ς⁶, ς⁷ und ς⁸

cos(40°)≈0,766... ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar,
denn x=cos(40°) ist Lösung einer Gleichung 3. Grades
(8x³-6x+1=0) und diese Gleichung hat einen
Zerfällungskörper L mit Grad(L,ℚ)=3

              ——————
          1        —
cis(40°)= — ∛-4+4i√2
          2  

Die Gruppe mit 9 Elementen
G={1, ς, ς², ς³, ς⁴, ς⁵, ς⁶, ς⁷, ς⁸} ist zyklisch: G=‹ς›=‹ς²›=‹ς⁴›=‹ς⁵ ›=‹ς⁷›=‹ς⁸›.
Man nennt die Elemente von G primitiv, wenn sie die ganze Gruppe erzeugen.
Ihre Anzahl ist φ(9)=6 (φ=Eulersche Funktion). Da φ(9) keine 2-er Potenz ist, ist das 9-Eck nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar (siehe unten).
Eine Untergruppe von G mit 3 Elementen ist U={1,ς³,ς⁶}
Eine Näherungskontruktion des 9-Ecks mit Zirkel und Lineal des Winkels mit 40° kann zum Beispiel mit arctan(⁵/₆)=39,8° oder mit cos(40°)=0,766≈³/₄ erfolgen.

Allgemeines n-Eck

Sei n≥3 und C={x∈ℚ|xⁿ=1} die Menge der n Einheitswurzeln über ℚ.
Eine primitive Einheitswurzel in C={1,ζ,ζ²,...,ζ^n-1} ist eine Element, das C erzeugt. Das sind die Elemente ζ^m∈C mit ggT(m,n)=1. Ihre Anzahl ist φ(n) (φ: Eulersche Funktion).

(FLA 404) Ein wichtiges Problem ist die Berechnung des Körpergrades [ℚ(ζ):ℚ]. Dies ist der Grad des Minimalpolynoms Φ∈ℚ[X]. Ist nämlich [ℚ(ζ):ℚ] eine Potenz von 2, dann ist das n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.
Das Minimalpolynom Φ ist das Produkt aller Linearfaktoren (X-z), wobwi z eine primitive Einheitswurzel ist.
Satz: Grad(Φ)=φ(n) (langer Beweis).
Folgerung: Ist φ(n) eine Potenz von 2, dann ist das n-Eck mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

n.k.= nicht mit Zirkel und Lineal konstr.

Φ = x - 1               φ(1)=1
 1
     
Φ = x+1                 φ(2)=1          
 2 
     2
Φ = x +x+1              φ(3)=2
 3
     2
Φ = x +1                φ(4)=2
 4
    4  3  2 
Φ =x +x +x +x+1         φ(5)=4
 5 
    2
Φ =x -x+1               φ(6)=2 
 6
    6  5  4  3  2  
Φ =x +x +x +x +x +x+1   φ(7)=6 n.k.
 7
    4
Φ =x +x+1               φ(8)=4
 8 
    6  3
Φ =x +x +1              φ(9)=6 n.k. 
 9
     4  3  2
Φ  =x -x +x -x+1        φ(10)=4
 10

     10   9
Φ  =x  + x  + ... + 1  φ(11)=10 n.k.
 11

      4   2
Φ  = x - x +1          φ(12)=4      
 12

...

      48       7
Φ   =x  +...+2x -... +1 φ(105)=48 n.k. 
 105

     1           5
p=AD=— und  q=DB=— und damit  
     4           4 

                 ——   √5
die Höhe h=DC = √pq = —— ,
                      4 

also "mit Zirkel und Lineal" auch
          
          √5-1
cos(72°)= ———— konstruierbar.
           4