Joachim Mohr Mathematik Musik Delphi
Basiswissen
Der Schwerpunktsatz
Um den folgenden Schwerpunktsatz elementar beweisen zu können, sei zunächst an
die beiden
Strahlensätze
erinnert.
![Zentrische Streckung](gif/1bas_strahlensatz.gif)
Die "Strahlenabschnitte" sind hier die Strecken SA, SA', SB und SB' auf den Strahlen,
die "Parallelenabschnitte" sind hier die Strecken AB und A'B' auf den Parallelenen.
I Entsprechende Strahlenabschnitte verhalten sich gleich:
SB'
:
SB
=
SA'
:
SA
(hier = 4:3)
II Die Parallelenenabschnitte verhalten sich gleich wie die von S aus gemessenenentsprechenden Strahlenabschnitte:
A'B'
:
AB
=
SA'
:
SA
(hier = 4 : 3)
Beweis: Betrachte die zentrische Streckung mit dem Streckungszentrum S, die
A auf A' und B auf B' abbildet. Alle Strecken werden dann mit demselben Streckfaktor "gestreckt":
SA'
= k·
SA
,
SB'
= k·
SB
,
A'B'
= k·
AB
(k: Streckfaktor hier = 4:3)
(Für ganz Gewissenhafte sei bemerkt: In der zweiten Figur ist k negativ und man müsste
SA'
= |k|·
SA
schreiben).
IV
Formuliere und beweise
den Schwerpunktsatz!
Tipp: Verbinde M
b
mit M
a
und berechne dann nach den Strahlensätzen
M
b
M
a
:
AB
und
M
a
S
:
SA
Lösung