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Anhang: Ein Axiomensystem für den Tonraum
Wir betrachten den Tonraum (T,I,+,<).
T=Menge der Töne (genauer: Tonhöhe)
Variablen von Tönen werden mit großen Buchstaben A,B,C,.. geschrieben.
I = Menge der Intervalle
Variablen von Intervallen werden mit kleinen Buchstaben i,j,... geschrieben.
Nun folgen 11 Axiome für diese Struktur ähnlich den Axiomen des affinen Raumes. Die Töne A, B ... entsprechen den Punkten, die Intervalle i=AB ... den Vektoren.
Zuerst wird die Struktur der Intervalle beschrieben:
Die Menge der Intervalle I ist bez. '+' eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe.
D.h. es gelten die Gesetze (1) bis (8):
| (1) | Abgeschlossenheit: Für zwei Intervalle i und j gilt: i+j ist wieder ein |
| Intervall [zum Beispiel Quart + Terz =Sext] | |
| (2) | Assoziativgesetz: (i+j)+k=i+(j+k) |
| (3) | Kommutativgesetz: i+j=j+i |
| (4) | Existenz des Nullelementes und Inversen: |
| i+x=j ist stets eindeutig lösbar, geschrieben x=j-i | |
| (Insbesondere gibt es das Nullintervall [Prim] o: i+o=i | |
| und zu jedem Intervall i das inverse Intervall -i mit | |
| i+(-i)=o) | |
| (5) | Trichotomie: Stets gilt: i |
| (6) | Transitiv: Aus i |
| (7) | Monotonie: Aus i |
| (8) | Archimedisches Gesetz: Stets gibt es zu Intervallen i und j mit 0 |
| natürliche Zahl n so, dass n·i>j, wobei man das Intervall n·i durch n-maliges | |
| Addieren des Intervalls i erhält. |
Nun wird die Struktur der Töne beschrieben:
T ist "affiner" Raum über I.
D.h. Es gelten die folgenden Gesetze (9), (10) und (11).| (9) | Je zwei Töne A und B bestimmen genau ein Intervall i, |
| geschrieben i=AB [oder wie Vektoren AB mit Pfeil darüber] | |
| [Auf diese Weise kann ich erst jemanden das Intervall mitteilen, sinnlich | |
| ist das Intervall ein Klang] | |
| (Alternativ könnte man auch wie bei Ortsvektoren i=B-A schreiben). | |
| (10) | Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B |
| so, dass i=AB, geschrieben B=A+i. | |
| [Achtung: A+i ist eine andere Addition als i+j!] | |
| [Allein mit dem Gehör finde ich zu einem gegeben Ton den Ton, der zum Beispiel | |
| eine große Terz höher liegt] | |
| Also: i=AB <-> B=A+i | |
| (11) | A+(i+j)=(A+i)+j für Töne A und Intervalle i und j |
| ("gemischtes" Assoziativgesetz.) | |
| [zum Beispiel Oft findet man den Ton, der eine Quinte höher liegt, mit Hilfe | |
| des Dur-Dreiklanges: zuerst wird die große Terz, dann die kleine | |
| Terz angesetzt]. | |
| (11A) | Alternativ: AB+BC=AC |
Beweis der Gleichwertigkeit:
| Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC. | |
| "=>" | Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I. |
| Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11)) | |
| = B+ j=C. | |
| Somit AC=i+j=AB+BC | |
| "<=" | Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T |
| Gegeben sei A ε T und i,j El I. | |
| Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt: | |
| (A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit: | |
| A+(i+j)=(A+i)+j | |
| ∎ | |
Lemma: A+o=A, wobei o das Nullintervall ist; d.h. AA=o.
Beweis: Nach (11A) gilt: AA=AA+AA -> AA=o
Lemma: BA=-AB Bew.: AB+BA=o => BA=-AB
Bemerkung: In T kann man auf folgende Weise noch eine Ordnung definieren:
A < B <=> AB > o (siehe Axiom 4; AB ist das den Tönen A und B zugeordnete Intervall)
Hörpsychologisch: Der Ton B erklingt " höher" als der Ton A.
Axiome brauchen wir für diese Relation nicht, da alles über Größenverhältnisse auf Intervalle zurückgeführt werden kann.
| Hinweis: | T ist "geordneter affiner" Raum über dem "Intervallraum" I, wobei I |
| diesmal kein Vektorraum - wie bei affinen Räumen üblich- sondern | |
| eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist. |
- Man beachte:
- Nur zwei Intervalle oder ein Ton und ein Intervall können addiert werden, nicht jedoch zwei Töne! (Man könnte - wie bei affinen Räumen- von "Ortsintervallen" sprechen):
- Wird in T ein Ton -zum Beispiel A- als Basis genommen, dann ist jeder weitere Ton X durch das Intervall i=AX eindeutig bestimmt und umgekehrt jedes Intervall i durch den Ton X=A+i.
- Ein gleichwertiges Axiomensystem ist auch durch eine Äquivalenzrelation auf Tonpaaren zu bewerkstelligen.
- Zwei Tonpaare (A,B) und (C,D) sind äquivalent, wenn Ihnen dasselbe Intervall zugeordnet wird: (A,B)~(C,D) <-> AB = CD (siehe oben Axiom 9 ).
- Bemerkung:
- Nach dem Satz von Hölder ist der Intervallraum (I,+,<) isomorph zu einer Teilgruppe von (R,+,<).
- Mit heutigem physikalischen Kenntnisstand über Frequenzverhältnisse und dem Logarithmus ist das klar. Davon machen wir aber keinen Gebrauch, da die axiomatische Betrachtungsweise wesentlich intuitiver ist.
Literatur siehe Wilfried Neumaier