Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi
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Quadratische, kubische und höhere Gleichungen

Quadratische Gleichung x2+px+q=0

In der Schule lernt man die Lösungsformel
pq_formel
Herleitung 
      
 2                                       p 2
x +px+q=0     Addiere auf beiden Seiten (—) und subtrahiere q
                                         2

    2     p  2    p 2 
⇔ x +px+(—)   = (—) -q   Links steht ein Quadrat!
          2       2

     p 2   p 2
⇔(x+—)  =(—) -q      Wurzelziehen ergibt:
     2     2
     
               ———————
       p      / p 2 
⇒ x + —  = ± √(—) -q
       2        2

               ———————
         p    / p 2 
⇔ x = - — ± √ (—) -q  Zwei Lösungen x  und x .
         2      2                     1      2
. 
   
Anzumerken ist: x + x = -p und x x = q (Satz von Vieta)
                 1   2          1 2

pq_formel2


Beispiel 1: x2-2x-15=0
Lösung: x1,2=1±√1+15 ⇒ x1=5 und xs=-3

Beispiel 2: x2+2x+3=0
Lösung: x1,2=-1±√-2 ⇒ x1=-1+i√2 und x2=-1-i√2
Die Lösungen sind nicht reell, sondern komplex mit i2=-1.

Kubische Gleichungen

Klassische Lösung nach Cardano: Siehe hier
Formel der reduzierte kubische Gleichung x3+a1x+a0=0 siehe hier...
Formel der allgemeine kubische Gleichung x3+a2x2+a1x+a0=0 siehe hier...

Gleichung 4. Grades x4+ax3+bx2+cx+d=0

Formel siehe hier...

Gleichung 5. Grades und höher

Dafür gibt es nach der Galoistheorie keine allgemeine Formel.
Kurzfassung der Galoistheorie: hier