Joachim Mohr   Mathematik Musik Delphi

Gleichung 4. Grades. - Sonderfälle
Zerlegung: x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)

Zurück: Gleichungen 4. Grades , allgemein.      
Hier werden Sonderfälle der Gleichung 4. Grades x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 mit einfacher Lösungsformel vorgestellt:

Sonderfall I 4ab-a3=8c (Das Schaubild ist symmetrisch)

Sonderfall II c=0 und 4b=a2

Sonderfall III p=s mit weiteren Sonderbedingungen

Sonderfall IV q=t

Sonderfall V Symmetrische Gleichung

Sonderfall VI Biquadratische Gleichung x4 + bx2 + d = 0 (a=0 und c=0)

I Sonderfall 4ab-a3=8c oder 2p-a=0

Das Schaubild der Funktion x->x4+ax3+bx2+cx+d ist symmetrisch zu der Geraden mit der Gleichung x = - a/4 parallel zur y-Achse.
Substituiert man x = u - a/4, erhält man eine biquadratische Gleichung der Form u4+b'u2+d'=0

Kurzfassung:

In diesem Fall lautet die Lösung
      a
  p = -
      2

               ————————
      1       /2    2
  q = -(c + \/c  - a d
      a

      a
  s = -
      2

               ————————
      1       /2    2
  t = -(c - \/c  - a d
      a
Lösung kopierbar:
p=1/2*a
q=1/a*(c+sqrt(c^2-a^2*d) oder
q=c/a+sqrt(c^2/a^2-d)
s=1/2*a
t=1/a*(c-sqrt(c^2-a^2*d) oder
t=c/a-sqrt(c^2/a^2-d)

x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)
Bemerkung: 4ab-a3-8c ist invariant gegenüber linearen Transformationen, d.h.
aus (u-t)4+a1(u-t)3+b1(u-t)2+c1(u-t)+d = x4+ax3+bx2+cx+d für x= u-t
folgt 4a1b1 - a13 - 8c1 = 4ab - a3 - 8c

Ausführlich:

Beipiele:
x^4+4x^3+6x^2+4x+1=0
  a=4 b=6 c=4 Hier: 4ab-a3=8c (=32)
x^4+2x^3-11x^2-12x+36=0
  a=2 b=-11 c=-12 Hier: 4ab-a3=8c (=-96)
7gk4_sonderfall
Im Rechenschema des allgemeinen Falles wird bei der Berechnung von
q durch (-a+2p) dividiert.
Es darf also bei der Rechnung dort nicht sein, dass a=2p ist.
Im Fall a=2p ist dann
p=s=a/2
und c=1/2ab-1/8a3
bzw.4ab-a3=8c.
Die Berechnung von p, q, r und s sowie der Nullstellen ist dann kurz:
   Nämlich:
p=1/2*a;
s=1/2*a;
q=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
t=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q);
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q);
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t);
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t);
Und: Das Schaubild ist dann symmetrisch zu einer Parallelen der y-Achse.

Herleitung: Aus x4+a*x3+b*x2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t) folgt:
a=p+s, b=q+ps+t,c=qs+pt, d=qt. Mit a=2p und s=p folgt:
a=2p, b=p^2+q+t, c=pq+pt, d=qt. Weitere Umformungen:
p=a/2, b=1/4a^2+q+t, c=1/2aq+1/2at.
Die zweite Gleichung nach t aufgelöst und in die dritte eingesetzt:
t=b-1/4a^2-q, c=1/2aq+1/2a(b-1/4a^2-q)=1/2ab-1/8a^3 q.e.d

Und: q ist dann Lösung der Gleichung: 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0

Berechnung mit Maple
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+(4*a*b-a^3)/8*x+d;
g:=x->x^2+p*x+q; s:=a-p; t:=b-q-a*p+p^2;h:=x->x^2+s*x+t;
r:=x->((4*a*b-a^3)/8-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q)*x+(d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q);
simplify(f(x)-g(x)*h(x)-r(x));#Ergebnis 0
solve({(4*a*b-a^3)/8-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q=0,d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q=0},{p,q});
#ein Ergebnis:p=1/2a; 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0
Probe:
p:=1/2*a; q:=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
s:=1/2*a; t:=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
c:=(4*a*b-a^3)/8;
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+(4*a*b-a^3)/8*x+d;
g:=x->x^2+p*x+q; h:=x->x^2+s*x+t;
r:=x->(c-b*p+a*p^2-p^3-a*q+2*p*q)*x+(d-b*q+q^2+a*p*q-p^2*q);
simplify(r(x));#Ergebnis:0
Eine weiter Vereinfachung ergibt sich mit den Beziehungen
     3
4ab-a = 8c

      4     2     2          2          -    2          -
und  a - 8ab + 16b - 64d = (a - 4b + 8\/d)·(a - 4b - 8\/d)

Daraus folgt:
            ——————
           / 2                ——————
    c     / c        1       /2   2
q = - + \/ —— - d  = -(c + \/c - a d )
    a       2        a
           a

            ——————
           / 2                ——————
    c     / c        1       /2   2
t = - - \/ —— - d  = -(c - \/c - a d
    a       2        a
           a

Kopierbar:

q=c/a+sqrt(c^2/a^2-d)

t=c/a-sqrt(c^2/a^2-d)


Hier das Rechenschema zur Berechnung aller Nullstellen in Maple:
f:=x->x^4+a*x^3+b*x^2+1/8*(4*a*b-a^3)*x+d;
p:=1/2*a; q:=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
s:=1/2*a; t:=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8;
g:=x->(x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t);simplify(f(x)-g(x));#Probe stimmt!
x1:=-1/4*a+1/4*sqrt(3*a^2-2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x2:=-1/4*a-1/4*sqrt(3*a^2-2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x3:=-1/4*a+1/4*sqrt(3*a^2+2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
x4:=-1/4*a-1/4*sqrt(3*a^2+2*sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d)-8*b);
h:=x->(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)*(x-x4);
simplify(f(x)-h(x));#Probe stimmt

Beispiel zum Sonderfall c=(4ab-a^3)/8
Kurze Rechnung

a) f(x)=x4+4x3+6x2+4x+1


a=4
b=6
c=4   // =(4ab-a^3)/8
d=1
p=1/2*a=2
s=1/2*a=2
q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=1
t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=1
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=-1
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-1
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=-1
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1
b) f(x)=x4+2x3-11x2-12x+36


a=2
b=-11
c=-12
d=36
p=1/2*a=1
s=1/2*a=1
q=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=-6
t=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=-6
x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=2
x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-3
x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=2
x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-3
c) f(x)=x4+4x3-11x2-30x+50


     a=4
     b=-11
     c=-30
     d=50
       Probe:
     c=(4*a*b-a^3)/8=-30
         q ist Lösung der Gleichung 4q^2+(a^2-4b)q+4d=0
     p=1/2a=2
     s=1/2a=2
     q=(4b-a^2+sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=-5
     t=(4b-a^2-sqrt(a^4-8a^2*b+16b^2-64d))/8=-10
     x1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q)=sqrt(6)-1
     x2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q)=-1-sqrt(6)
     x3=-s/2+sqrt((s/2)^2-t)=sqrt(11)-1
     x4=-s/2-sqrt((s/2)^2-t)=-1-sqrt(11)
     

f(x)=x4+6x3+9x2+1
Rechnung:
a=6
b=9
c=0
d=1
p=1/2*a=3
q=(4*b-a^2+sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=1*i
s=1/2*a =3
t=(4*b-a^2-sqrt(a^4-8*a^2*b+16*b^2-64*d))/8=-1*i
Also ist f(x)=x^4+6x^3+9x^2+1 = (x^2+3x+i)·(x^2+3x-i)
Man sieht hier: Im Sonderfall ist q nicht immer reell (da q Lösung einer quadratischen Gleichung ist), aber die Zerlegung gelingt trotzdem. Und die Nullstelle lassen sich berechnen:
x1 = -3/2-1/4*sqrt(18+2*sqrt(97))-1/4*I*sqrt(-18+2*sqrt(97))
x2 = -3/2+1/4*sqrt(18+2*sqrt(97))+1/4*I*sqrt(-18+2*sqrt(97))
x3 = -3/2-1/4*sqrt(18+2*sqrt(97))+1/4*I*sqrt(-18+2*sqrt(97))
x4 = -3/2+1/4*sqrt(18+2*sqrt(97))-1/4*I*sqrt(-18+2*sqrt(97))
Die Zerlegung in reelle quadratische Faktoren ist:
(x-x1)·(x-x3)=x^2+(3+1/2*sqrt(18+2*sqrt(97)))*x
              +9/4+3/4*sqrt(18+2*sqrt(97))+1/4*sqrt(97) und
(x-x3)·(x-x4)=x^2+(3-1/2*sqrt(18+2*sqrt(97)))*x
              +9/4-3/4*sqrt(18+2*sqrt(97))+1/4*sqrt(97)

II Unterfall c=0 und 4b=a2

Wir ersetzten a durch 2a und kommen dann auf die Form:

/———————————————————————\
|  4     3   2 2        |
| x + 2ax + a x + d = 0 | (Der Koeffizient vor x ist Null)
\———————————————————————/

Dann ergibt sich für die Zerlegung

   4     3   2 2        2          2
  x + 2ax + a x + d = (x + px +q)(x + sx + t)

                    ——        ——
mit p=a, s=a, q = \/-d, t= -\/-d
Dies erkennt man sofort durch Einsetzen und Ausmultiplizieren.
Rechenschema für Maple:
p:=a;
s:=a;
q:=sqrt(-d);
t:=-sqrt(-d);
x1:=-p/2+sqrt((p/2)^2-q);
x2:=-p/2-sqrt((p/2)^2-q);
x3:=-s/2+sqrt((s/2)^2-t);
x4:=-s/2-sqrt((s/2)^2-t);

Beispiel
   4    3    2
  x - 6x + 9x  - 3 = 0;

kopierbar:

x^4-6*x^3+9*x^2-3=0

                         -        -
Lösung: p=-3, s=-3, q= \/3 t= - \/3

x1 = 3/2+1/2*sqrt(9-4*sqrt(3))=2,219686871

x2 = 3/2-1/2*sqrt(9-4*sqrt(3))=0,780313129

x3 = 3/2+1/2*sqrt(9+4*sqrt(3))=3,495507657

x4 = 3/2-1/2*sqrt(9+4*sqrt(3))=-0,495507657

III Sonderfall p=s mit weiteren Sonderbedingungen

(x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t)= x^4+a*x^3+(1/4*a^2+t+q)*x^2+1/2*a*(t+q)*x+q*t
Kann ich bei der Gleichung x4+ax3+bx2+cx+d
den letzten Koeefizienten d zerlegen in d=q*t und ergibt sich, dass
b=1/4*a^2+t+q und c=1/2*a*(t+q) ist, dann ist p=s=a/2 und die Zerlegung bereits bekannt.

Beispiel x4+4x3+12x2+16x+15

Man probiert für d=15=3·5 die Lösung q=3 und t=5. Probe:
b=1/4*a^2+t+q=12
c=1/2*a*(t+q)=16 Stimmt (zufällig)
Somit mit p=s=a/2
x4+4x3+12x2+16x+15=(x2+2x+3)·(x2+2x+5)

IV Sonderfall q=t

Zerlegung: x4+ax3+bx2+cx+d=(x2+px+q)(x2+sx+t)

Diesen Fall erkennt man an folgender Beziehung

c = a·sqrt(d)

Die Gleichung können wir dann auch mit d= q2 in folgender Form angeben.

   /———————————————————————————\
   |  4    3    2         2    |
   | x + ax + bx + aqx + q = 0 |
   \———————————————————————————/

Dann folgt: a=p+s und b=2q+ps
Daraus kann man p und s berechnen:
           ———————————               ————————————
   1        2                1        2
p= -(a + \/a - 4b + 8q)  s = -(a - \/a  - 4b + 8q)   t=q
   2                         2
Probe mit Maple:
p:=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*b+8*q);
s:=1/2*a-1/2*sqrt(a^2-4*b+8*q);
yp:=expand((x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+q));
#Ergebnis yp=x^4+a*x^3+b*x^2+a*q*x+q^2

Beispiel x4+3x3-14x2+6x+4=0

kopierbar: x^4+3*x^3-14*x^2+6*x+4=0
In diesem Fall ist a=3, b=-14, c=6 und d=4 ist die Bedingung c=a*sqrt(d) erfüllt.
Mit q=t=2 ergibt sich p=6 s=-3
x1=-3+sqrt(7)
x2=-3-sqrt(7)
x3=1
x4=2

Beispiel x4+2x3+3x2+4x+4=0

kopierbar: x^4+2*x^3+3*x^2+4*x+4=0
In diesem Fall ist a=2, b=3, c=4 und d=4 ist die Bedingung c=a*sqrt(d) erfüllt.
Mit q=t=2 ergibt sich p und s zu

p=1+sqrt(2) und s=1-sqrt(2)
Die vier Lösungen der Gleichung x4+2x3+3x2+4x+4=0 sind also
x1=(-1/2-1/2*sqrt(2))+(sqrt(5/4-1/2*sqrt(2)))*I;
x2=(-1/2-1/2*sqrt(2))-(sqrt(5/4-1/2*sqrt(2)))*I;
x3=(1/2*sqrt(2)-1/2)+(sqrt(1/2*sqrt(2)+5/4))*I;
x4=(1/2*sqrt(2)-1/2)-(sqrt(1/2*sqrt(2)+5/4))*I;
Maple kann diese Gleichung nicht lösen. 

V Unterfallfall: Symmetrische Gleichung

Eine Gleichung 4. Grades der folgenden Form nennt man symmetrisch.
 4    3    2
x + ax + bx + ax + 1 = 0
Dies ist ein Unterfall von Sonderfall IV und die folgende Zerlegung sofort berechenbar:

 4    3    2             2            2
x + ax + bx + ax + 1 = (x + px + 1)·(x  + sx + 1)

          ———————————               ——————————
    1       2               1        2
p = -(a+\/ a - 4b + 8)  s = -(a - \/a - 4b + 8)
    2                       2
kopierbar: p=1/2*a+1/2*sqrt(a^2-4*b+8) und s=1/2*a-1/2*sqrt(a^2-4*b+8)

Beispiel x4+4x3-12x2+4x+1=0

Kopierbar: x^4+4*x^3-12*x^2+4*x+1=0
Daraus ergibt sich p=2+3*sqrt(2) q=1, s==2-3*sqrt(2), t=1 und damit
x1=-1-3/2*sqrt(2)+1/2*sqrt((2+3*sqrt(2))^2-4)=-0,164524665
x2=-1-3/2*sqrt(2)-1/2*sqrt((2+3*sqrt(2))^2-4)=-6.078116021
x3= -1+3/2*sqrt(2)+1/2*sqrt((2-3*sqrt(2))^2-4)= 1.628626278
x4= -1+3/2*sqrt(2)-1/2*sqrt((2-3*sqrt(2))^2-4)=0,6140144080

Beispiel x4+2x3-14x2+2x+1=0

kopierbar: x^4+2*x^3-14*x^2+2*x+1= 0
p = 1+sqrt(17)
q = 1
s = 1-sqrt(17)
t = 1
x1 = -1/2-1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)) =  -0,203258342
x2 = -1/2-1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14+2*sqrt(17)) = -4,919847284
x3 = -1/2+1/2*sqrt(17)+1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)) = 2,760905633
x4 = -1/2+1/2*sqrt(17)-1/2*sqrt(14-2*sqrt(17)) = 0,362199993
(Nicht lösbar bei Maple)

VI Unterfallfall: a=0 und c=0

Eine Gleichung 4. Grades der folgenden Form nennt man häufig biquadratische Gleichung
 4    2
x + bx + d = 0
Es handelt sich hier um eine quadratische Gleichung für x2 und die vier Lösungen ergeben sich sofort durch die bekannten Formeln.
                                        ———————
              ————                b     / b 2
x       = ± \/w     für w    =  - - ± \/ (-) - d
 1,2,3,4       1,2       1,2      2       2

                                          —————
Die Berechnung komplexer Quadratwurzeln \/a+b·i = x + y·i

wird hier ausführlich besprochen.


Die Zerlegung
 4    2        2          2
x + bx + d = (x + px +q)(x + sx + t)
ergibt sich sodann durch

p = -(x + x ), q = x ·x
       1   2        1  2

s = -(x + x ), t = x ·x
       3   4        3  4

wobei die Nullstellen beliebig permutiert werden können,

was bei rellem b, d und gewünschten reellen p, q, r und s wichtig wird.

Beispiel x4+4x2+1=0 (b2 - 4d > 0)

Mit
  x1=   sqrt(-2+sqrt(3)) =   (1/2*sqrt(6) - 1/2*sqrt(2))*i
  x2= - sqrt(-2+sqrt(3)) = - (1/2*sqrt(6) - 1/2*sqrt(2))*i
  x3=   sqrt(-2-sqrt(3)) =   (1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(6))*i
  x4= - sqrt(-2-sqrt(3)) = - (1/2*sqrt(2) + 1/2*sqrt(6))*i
ergibt sich mit p= -(x1+x2) etc.
  p=0
  q=2-sqrt(3)
  s=0
  t=2+sqrt(3)
also
x4+4x2+1=(x2+2-√3)(x2+2+√3)

Beispiel x4+x2+4=0 (b2 - 4d < 0)

Mit
  x1=  1/2*sqrt(-2+2*i*sqrt(15)) =  1/2*sqrt(3) + 1/2*sqrt(5)i
  x2= -1/2*sqrt(-2+2*i*sqrt(15)) = -1/2*sqrt(3) - 1/2*sqrt(5)i
  x3=  1/2*sqrt(-2-2*i*sqrt(15)) =  1/2*sqrt(3) - 1/2*sqrt(5)i
  x4= -1/2*sqrt(-2-2*i*sqrt(15)) = -1/2*sqrt(3) + 1/2*sqrt(5)i
ergibt sich mit p = -(x1+x3) etc.
  p=-sqrt(3)
  q=2
  s=sqrt(3)
  t=2
also
x4+x2+4=(x2-√3x+2)(x2+√3x+2)

Direkte Berechnung von reellem p,q,r und t aus reellen b≠0 und d≠0.

x^4+b*x^2+d =(x^2+p*x+q)*(x^2+s*x+t) ergibt das Gleichungssystem:
s+p = 0
t+p*s+q =b
p*t+q*s=0
q*t = d

Man  kann q≠0 voraussetzen und erhält sofort die zwei Bedingungen:
t=d/q und s=-p
und damit
p*(d-q^2)=0 und d/q-p^2+q=b

Falls d < 0 oder 4*d < b^2 < 0 ergibt sich
   p=0, q=1/2*b+1/2*sqrt(b^2-4*d), s=0, t=1/2*b-1/2*sqrt(b^2-4*d)

Sonst ergibt sich
  q=sqrt(d), p =sqrt(2*sqrt(d)-b), s=-sqrt(2*sqrt(d)-b), t=sqrt(d)

Weiter Fallunterscheidungen wegen des Wurzelvorzeichens entfallen,
da dann nur die Werte von p,q und s und t vertauscht werden.

Beispiel a) b=1 d=4
            => p=sqrt(2*sqrt(d)-b)=sqrt(3), q=sqrt(d)=2,
               s= -sqrt(3), t=2

Beispiel b) b=4 d=1
            => p=0, q=1/2*b+1/2*sqrt(b^2-4*d)=2+sqrt(3),
               s=0, t=2-sqrt(3)

Beispiel c) b=1 d=-4
            => p=0, q=1/2*b+1/2*sqrt(b^2-4*d)=1/2+1/2*sqrt(17),
               s=0, t=-1/2*sqrt(17)+1/2

Beispiel d) b=4 d=-1
            => p=0 q=1/2*b+1/2*sqrt(b^2-4*d)=2+sqrt(5),
               s=0, t=3-sqrt(5)
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