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Lektionen der Analysis in Aufgaben
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Hinweis für Analysisanfänger: Falls Du noch keine
Exponentialfunktionen kennengelernt hast: Bearbeite
zunächst nur die Aufgaben ohne die Funktion
x->ex.
Eine Exponentialfunktionen ( =
Wachstumsfunktion) x->exp(kx)=ekx mit e =
2,718281828459... ist eine Funktion, deren Ableitung
proportional zur Funktion selbst ist. ("Geburtenrate
proportional zum Bestand"). Um Gleichungen mit der
Exponentialfunktion lösen zu können, benötigt man
deren Umkehrfunktion - die Funktion des "natürlichen
Logarithmus" x->lnx.
1. Lektion: Geraden in der x-y-Ebene
1. Gib die Gleichungen der Geraden an und prüfe,
ob der Punkt X auf ihr liegt.
a) Die Gerade durch P(6|0) Q(0|3). X(10|-2)
b) Die Gerade durch A(2|2) parallel zur Geraden durch B(0|-1) C(1|1). X(10|20)
c) Die Gerade durch Q(0|3) parallel zur x -Achse. X(11|3)
d) Die Gerade durch N(3|0) parallel zur y -Achse. X(3|11)
2. Zeichne die Geraden
2 5
a) y = -x - 2 b) y = 4 - -x c) x = -2
3 6
Lösung
Siehe auch: "Kettenregel"! (Eine
ausführliche Darstellung)
Leite ab!
2
2 2t 2 3
1 a) f(x) = 2x ·sinx b) g(t) = ———— c) h(x) = (4 - 5x )
sint
2 2
2 2a t 2 3 2 3
2 a) f (x) = 2t xsinx b) g (t) = ————————— c) h (x) = (t - t x )
t a (a-1)cost t
1
- -x
—————— -kt 2
3. a) f(x) = \/2 - 4x b) g(t) = G - ae c) h(x) = (x-1)e
Lösung
Forme erst um und leite dann ab!
3 2
t(x - 2x + 3) 5
a) f (x) = ————————————— b) f(x) = —————————
t 2 2
x (2x - 1)
Lösung
Ermittle die Stammfunktion! Mache stets die Probe durch
Ableiten!
5 1 -4x
1. a) f(x) = 5(2x - 4) b) g(t) = -cos2t c) h(x) = 10 - 3e
2
2 5 2 -kt
2. a) f (x) = t(tx - t ) b) g (t) = a·sina t d) h(t) = G - ae
t a
2π 8 ∞
x —— 1
3. a) I sin-dx b) I\/2xdx c) I ———————dx (I = ∫ = Integral)
4 2
0 0 (2x+2)
0
4. Bestimme die Integralfunktion:
1
x - -t x x
2 π
a) I e dt b) I sin-tdt c) I f'(2t)dt (abstrakt!)
2
0 0 0
Lösung
Bestimme die Asymptoten der Funktionen:
2 2
2x - 3 x - 2x + 1 x - 2x + 1
1 a) f(x) = —————— b) f(x) = —————————— c) f(x) = ———————————
3 - 4x 2x 2x - 1
1
x - -x
-0.001t e - 3 2
2 a) f(t) = 2 - e b) f(x) = —————— c) f(x) = (1 - 4x)e
x
2 - e
Lösung
Für Anfänger:
1. Prüfe, ob die Schaubilder der folgenden Funktionen symmetrisch
zur y-Achse oder symmetrisch zum Ursprung sind.
1 4 2 x
a) f(x) = -x - 2x + 1 b) f(x) = —————
4 3
x + x
2
1 3 2x
c) f(x) = -x - 3x d) f(x) = —————
3 3
x + x
Für Fortgeschrittene:
1
2. a) Zeige: Das Schaubild von f mit f(x) = —————— ist symmetrisch zu x = 2.
x(x-4)
x - 1
b) Zeige: Das Schaubild von f mit f(x) = ————— ist punktsymmetrisch
x - 2
zum Schnittpunkt der beiden Asymptoten.
Lösung
1. Bestimme die Gleichung der Tangente und Normalen an das
1 4 2
Schaubild der Funktion f mit f(x) = -x - 2x - x + 1 im Punkt P(1|?)
8
und berechne deren Schnittpunkte mit den Achsen.
-x
2. A(u|v) mit u>0 sei ein Punkt des Schaubildes K von f(x) = e . Die
Parallele durch A zur x-Achse schneide die y-Achse in B. Die Tangente
in A an das Schaubild K schneide die y-Achse in C. Für welchen Wert
von u wird der Flächeninhalt des Dreiecks ABC extremal?
3. Vom Punkt P(3|0) soll die Tangente an das Schaubild der Funktion f
2
mit f(x) = - + 2 gelegt werden.
x
Lösung
a) Bestimme die Gleichung y=f(x) der Parabel durch den Ursprung O(0|0) und P(2|1), die symmetrisch zur y-Achse ist.
b) Die Parabel von Teil a) wird um +2 in Richtung y-Achse verschoben. Bestimme die Gleichung y=g(x).
c) Die Parabel von Teil a) wird um +2 in Richtung x-Achse verschoben. Bestimme die Gleichung y=h(x).
d) Die Parabel von Teil a) wird um -3 in Richtung y-Achse und um +2 in Richtung x-Achse verschoben.
Bestimme die Gleichung y=i(x).
Lösung
Was immer wieder vorkommt: Die Gleichung der Tangente
|
y - y
0
m = —————— => y - y = m(x - x )
x - y 0 0
0
Merke!
y = m(x - x )= + y
0 0
(Punktsteigungsform der Geraden)
Die Tangente an das Schaubild von f
hat die Steigung m = f'(x ). Somit
0
Tangentengleichung: y = f'(x )(x - x ) + f(x )
0 0 0
1
Beispiel P(2|3) mit f'(2) = -
2
1 1
Tangente: y = -(x - 2) + 3, also y = -x + 2
2 2
|
Alle Aufgaben sind
Basisaufgaben. Die meisten davon solltest Du ohne
Nachdenken lösen können.
Klassische Kurvendiskussionen (Nullstellen, Hoch-, Tief- und
Wendepunkte u.s.w.) werden hier nicht behandelt, da sie
ausgiebig in jedem Schulbuch zu finden sind. Die zu beherrschen
ist für jeden angehenden Abiturienten Pflicht.
