Start       Mathematik       Lektionen in Analysis       Aufgaben zur vollständige Induktion

Die vollständige Induktion - Lösungen

1. Aufgabe: Sind die folgenden Aussageformen in N allgemeingültig?

a) Wenn n ein Vielfaches von 6 ist, dann ist n eine gerade Zahl.
b) Wenn n = 0 ist, dann ist n + 1 = 1.
c) Wenn n = n + 1 ist, dann ist n + 1 = n + 2.

Lösung: Alle Aussagen sind allgemeingültig.

zu a) Wenn n durch 6=2·3 teilbar ist, dann auch durch 2 (n ε N).

zu b und c) Diese Aussagen sind beweisbar: Addiere einfach 1 bei der Gleichung der wenn-Aussage, dann erhältst Du die dann-Aussage.

Es ist dabei völlig gleichgültig, ob die wenn-Aussage überhaupt für eine Einsetzung erfüllt werden kann.

Eine wenn-dann-Aussage ist nur dann falsch, wenn die wenn-Aussage wahr und die dann-Aussage falsch ist.

Der Logiker macht sich das am folgenden Schema klar:

ABwenn A, dann B
wahrwahrwahr
wahrfalsch falsch
falschwahrwahr
falschfalschwahr


Zu b) Ersetzten wir in der Aussageform "Wenn n = 0 ist, dann ist n + 1 = 1" n durch konkrete Werte, dann erhalten wir:

Wenn 1 = 0 ist, dann ist 1 + 1 = 1 (wahr).
Wenn 2 = 0 ist, dann ist 2 + 1 = 1 (wahr).
Wenn 3 = 0 ist, dann ist 3 + 1 = 1 (wahr).
... (wahr),

Bei allen Aussagen ist die wenn-Aussage falsch. Somit ist automatisch die wenn-dann-Aussage formal richtig. (Deshalb spricht man auch von formaler Logik. Nicht immer entspricht sie der Umgangssprache.)

Dieselbe Argumentation gilt bei c:

Wenn 1 = 1 + 1 ist, dann ist 1 + 1 = 1 + 2 (wahr).
Wenn 2 = 2 + 1 ist, dann ist 2 + 1 = 2 + 2 (wahr).
Wenn 3 = 3 + 1 ist, dann ist 3 + 1 = 3 + 2 (wahr).
... (wahr).
Aufgabe 2a) Behauptung:
                       n    n+1
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2  = 2   - 1             A(n)
Beweis:

Induktionsanfang:
             1   2
A(1):   1 + 2 = 2 - 1  (wahr, Probe stimmt)
Induktionsschritt:
                           n    n+1
Sei 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2  = 2   - 1         A(n)


Daraus ist herzuleiten:


                       n    n+1    n+2
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2  + 2    = 2   - 1      A(n+1)


Herleitung:

                           n    n+1
Aus 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2  = 2   - 1 folgt:


                       n    n+1    n+1       n+1      n+1       n+2
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2  + 2    = 2   - 1 + 2    = 2·2   - 1 = 2   - 1

                                                             q.e.d
Aufgabe 2b) Behauptung:

    1   1   1          1         1
1 + - + - + - + ... + —— ≥ 1 + n·-          A(n)
    2   3   4          n         2
                      2
Beweis:

Induktionsanfang:
          1          1
A(1): 1 + -  ≥ 1 + 1·-  (wahr)
           1         2
          2
Ich zeige noch, dass A(2) und A(3) wahr sind, obwohl es beim Beweis durch vollständige Induktion nicht notwendig ist. Man sieht hier jedoch sehr schön beispielshaft, wie der Schluss von A(n) auf A(n+1) erfolgt.
           1   1   1       1    1   1          1
A(2) = 1 + - + - + - > 1 + - + (- + -) = 1 + 2·-
           2   3   4       2    4   4          2


           1   1   1   1   1   1   1       1    1   1     1   1   1   1          1
A(3) = 1 + - + - + - + - + - + - + - > 1 + - + (- + -) + (- + - + - + -) > 1 + 3·-
           2   3   4   5   6   7   8       2    4   4     8   8   8   8          2

Induktionsschritt:


        1   1   1          1         1
Sei 1 + - + - + - + ... + —— ≥ 1 + n·-          A(n)
        2   3   4          n         2
                          2

Dann folgt daraus



    1   1   1          1        1              1
1 + - + - + - + ... + ——     + ———— + ... +  ————
    2   3   4          n        n             n+1
                      2        2 +1          2


        1                       1              1                 1        1
≥ 1 + n·-                   + —————— + ... + ——————   (Beachte: —————— = ————)
        2                      n   n          n   n              n   n    n+1
                              2 + 2          2 + 2              2 + 2    2



        1                   n  1            1    1              1
= 1 + n·-                  2 ·—————— = 1 + n·- + -  = 1 + (n+1)·-
        2                      n   n        2    2              2
                              2 + 2
Und damit ist gezeigt, dass auch A(n+1) gilt.
Lösung zu Aufgabe 3:
Alle Lösungen bis auf e) sind in den Lösungen von Aufgabe 4 nachzuschauen:

e) A(n) <=> n = n + 1
A(1) <=> 1 = 1 + 1 (falsch. Deshalb ist A(n) nicht allgemeingültig)
A(n+1) <=> n + 1 = n + 2
Lösungen zu Aufgabe 4:
a) Behauptung:
                            2
1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n                       A(n)
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

              2
A(1):    1 = 1 (wahr)

Induktionsschritt:

                                  2
Sei   1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n                 A(n)


Daraus ist herzuleiten:

                                             2
1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) + (2n + 1) = (n + 1)      A(n+1)


Herleitung:
                                 2
Aus  1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) = n   folgt:

                                     2                  2
1 + 3 + 5 + ... (2n - 1) + (2n+1) = n + (2n + 1) = (n+1)

                                                          q.e.d

b) Behauptung:
                                            n·(n+1)
5 + 8 + 11 + 14 + ... + (5+3·n) = 5(n+1) + 3———————                       A(n)
                                               2
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

                         1·2
A(1):    5 + 8 = 5·2 + 3·———  (wahr)
                          2
Induktionsschritt:

                                                n·(n+1)
Sei 5 + 8 + 11 + 14 + ... + (5+3·n) = 5(n+1) + 3———————                   A(n)
                                                  2

Daraus ist herzuleiten:

                                                            (n+1)·(n+2)
5 + 8 + 11 + 14 + ... + (5+3·n) + (5 + 3·(n+1)) = 5(n+2) + 3———————————   A(n+1)
                                                                 2


Herleitung:
                                                n·(n+1)
Aus 5 + 8 + 11 + 14 + ... + (5+3·n) = 5(n+1) + 3———————  folgt
                                                  2

                                                          n·(n+1)
5 + 8 + 11 + 14 + ... + (5+3·n) + (5+3·(n+1)) = 5(n+1) + 3——————— + (5+3·(n+1))
                                                            2
           3  2                    3 2   1
= 5n + 5 + -(n + n) + 5 + 3n + 3 = -n + 9-n + 13
           2                       2     2

Jetzt brauche ich nur noch die rechte Seite von A(n+1) ausmultiplizieren

und ordnen, um zu zeigen, dass dies dasselbe ist.

          (n+1)·(n+2)             3  2             3 2   1
5(n+2) + 3——————————— = 5n + 10 + -(n + +3n + 2) = -n + 9-n + 13
               2                  2                2     2

                                                        q.e.d

c) Behauptung:
                                                             n·(n+1)
a + (a+k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... + (a + nk) = a(n+1) + k———————     A(n)
                                                                2
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

                               1·2
A(1):    a + (a + k) = a·2 + k·———  (wahr)
                                2
Induktionsschritt:
                                                                 n·(n+1)
Sei a + (a+k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... + (a + nk) = a(n+1) + k——————— A(n)
                                                                    2

Daraus ist herzuleiten:


a + (a+k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... + (a + nk) + (a + (n+1)k)
                                                                         A(n+1)
             (n+1)(n+2)
= a(n+2) + k·——————————
                2

Herleitung:
                                                                 n·(n+1)
Aus a + (a+k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... + (a + nk) = a(n+1) + k——————— folgt
                                                                    2


a + (a+k) + (a + 2k) + (a + 3k) + ... + (a + nk) + (a + (n+1)k)

            n(n+1)                           k  2
= a(n+1) + k—————— + (a + (n+1)k) = an + a + -(n + n) + a + nk + k
              2                              2

  k 2       3
= -n + (a + -k)n + 2a + k
  2         2


Jetzt brauche ich nur noch die rechte Seite von A(n+1) ausmultiplizieren

und ordnen, um zu zeigen, dass dies dasselbe ist.

             (n+1)(n+2)             k  2            k 2       3
= a(n+2) + k·—————————— = an + 2a + -(n + 3n + 2) = -n + (a + -k)n + 2a + k
                2                   2               2         2

                                                        q.e.d

d) Behauptung:
                                       n+1
           2    3           n     1 - x
a + ax + ax + ax  + ... + ax  = a·————————           A(n)
                                   1 - x
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:
                      2
                 1 - x               2
A(1): a + ax = a —————  (wahr, da 1-x = (1+x)(1-x))
                 1 - x

Induktionsschritt:

               2    3           n     1 - x
Sei a + ax + ax + ax  + ... + ax  = a·————————       A(n)
                                      1 - x

Daraus ist herzuleiten:
                                                n+2
           2    3           n     n+1      1 - x
a + ax + ax + ax  + ... + ax  + ax    = a·————————   A(n+1)
                                           1 - x

Herleitung:

                                            n+1
               2    3           n     1 - x
Aus a + ax + ax + ax  + ... + ax  = a·————————   folgt
                                      1 - x

                                              n+1
           2    3           n    n+1     1 - x        n+1
a + ax + ax + ax  + ... + ax + ax    = a·———————— + ax
                                         1 - x

        n+1    n+1                n+1    n+1   n+2         n+2
   1 - x    + x   (1 - x)    1 - x    + x   - x       1 - x
= a—————————————————————— = a————————————————————— = a————————
      1 - x                      1 - x                 1 - x

                                                        q.e.d

f) Behauptung:
     2   2          2  1
1 + 2 + 3 + ... +  n = -n·(n + 1)·(2n + 1)             A(n)
                       6
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:
          1
A(1): 1 = -·1·2·3 (wahr)
          6

Induktionsschritt:

         2   2          2  1
Sei 1 + 2 + 3 + ... +  n = -n·(n + 1)·(2n + 1)
                           6

Daraus ist herzuleiten:

     2   2          2  1
1 + 2 + 3 + ... +  n = -(n+1)·(n + 2)·(2n + 3)         A(n+1)
                       6

Herleitung:
          2   2          2  1
Aus  1 + 2 + 3 + ... +  n = -n·(n + 1)·(2n + 1) folgt
                            6

     2   2          2      2   1                          2
1 + 2 + 3 + ... +  n + (n+1) = -n·(n + 1)·(2n + 1) + (n+1)
                               6


  1 3  1 2  1     2           1 3  3 2  13
= -n + -n + -n + n + 2n + 1 = -n + -n + ——n + 1
  3    2    6                 3    2     6

Jetzt brauche ich nur noch die rechte Seite von A(n+1) ausmultiplizieren

und ordnen, um zu zeigen, dass dies dasselbe ist.

1                     1   3    2             1 3  3 2  13
-(n+1)·(n+2)·(2n+1) = -(2n + 9n + 13n + 6) = -n + -n + ——n + 1
6                     6                      3    2     6

                                                        q.e.d

g) Behauptung:
 n
3 - 3 ist durch 6 teilbar.

Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

A(1) 3 - 3 ist durch 6 teilbar (wahr, da 0:6=0)


Induktionsschritt:

     n
Sei 3  - 3 durch 6 teilbar,

      n
d.h. 3  - 3 = 6k für ein passendes k ε N,

Daraus ist herzuleiten:

 n+1
3    - 3 ist durch 6 teilbar.


Herleitung:

     n
Aus 3  - 3 = 6k folgt

 n+1         n           n
3   - 3 = 3(3 - 1) = 3·(3 - 3 + 2)

                                    n
(Einsamer Trick: Ich muß unbedingt 3 - 3 durch 6k ersetzten.)


= 3·(6k + 2) = 18k + 6 = 6·(3k + 1)

          n+1
Also ist 3   - 3 das (3k+1)-Vielfache von 6


und damit durch 6 teilbar.
                                            q.e.d.

h) Behauptung: Für p > -1 und n ≥ 2 gilt:

        n
   (1+p)  > 1 + n·p                            A(n)
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

          2                       2
A(2) (1+p)  > 1+2p (wahr, da (1+p) = 1 + 2p + 1 > 1 + 2p

Induktionsschritt:

           n
Sei   (1+p)  > 1 + n·p                         A(n)


Daraus ist herzuleiten:

        n+1
   (1+p)   > 1 + (n+1)·p                       A(n+1)


Herleitung:

         n
Aus (1+p)  > 1 + n·p folgt

     n
(1+p) ·(1+p) > (1 + n·p)(1 + p)


           n+1                    2
Also: (1+p)   > (1 + n·p + p + n·p ) > (1 + n·p + p) = 1 + (n+1)·p

                                            q.e.d.

i) Behauptung:
                  x
Für f(x) = (x+2)·e  ist die n-te Ableitung

        (n)                  x
       f  (x) = (x + n + 2)·e
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

                               x       x        x
A(1) Die Ableitung ist f'(x) =e +(x+2)e = (x+3)e

             (1)                   x
     Formel f   (x) = (x + 1 + 2)·e  (Formel stimmt für n=1)


Induktionsschritt:

     (n)                  x
Sei f  (x) = (x + n + 2)·e                             A(n)

Daraus ist herzuleiten:


        (n+1)                  x
       f    (x) = (x + n + 3)·e                        A(n+1)



Herleitung:

     (n)                  x
Aus f  (x) = (x + n + 2)·e   folgt durch Ableiten:


     (n+1)       x           x               x
    f     (x) = e + (x+n+2)·e  = (x + n + 3)e

                                            q.e.d.

j) Behauptung:
                  -x
Für f(x) = (x+2)·e   ist die n-te Ableitung

        (n)        n              -x
       f  (x) =(-1)  (x + 2 - n)·e
Beweis durch vollständige Induktion:

I Induktionsanfang:

                               -x       -x          -x
A(1) Die Ableitung ist f'(x) =e  -(x+2)e  =-(x + 1)e

             (1)          1             -x
     Formel f   (x) = (-1) (x + 2 - 1)·e   (Formel stimmt für n=1)


Induktionsschritt:

     (n)        n             -x
Sei f  (x) =(-1) (x + 2 - n)·e                         A(n)

Daraus ist herzuleiten:


        (n+1)        n+1             -x
       f    (x) =(-1)   (x + 1 - n)·e                  A(n+1)



Herleitung:

     (n)        n             -x
Aus f  (x) =(-1) (x + 2 - n)·e    folgt


     (n+1)          n  -x              -x
    f     (x) = (-1) (e  - (x + 2 - n)e  )


                    n                -x
              = (-1) (1 - x - 2 + n)e

                    n           -x       n+1            -x
              = (-1) (-x -1 +n)e   = (-1)   (x + 1 - n)e

                                                       q.e.d.
Lösung zur 5. Aufgabe (Tilgung eines Darlehens):

Die Folge (a ) wird rekursiv definiert durch
            n


          a = a
           1

          a   = r·a + s  für n ≥ 0  (r ≠ 1)
           n+1     n


Behauptung: Für die Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck der Form

               n
A(n)   a  = c·r + d (n ≥ 0) für passende Zahlen c und d.
        n
Lösung: Zuerst müssen wir c und d bestimmen.

Dies erreichen wir dadurch, dass wir n=0 und n=1 in A(n) einsetzten. (Dies war auch der Grund, dass wir diesmal mit n=0 anfangen. Das folgende Gleichungssystem ist dann einfacher lösbar.)
                  0
A(0)   a = a = c·r + d
        0
                        1
A(1)   a = r·a + s = c·r + d
        1     0


Lösen wir die beiden Gleichungen a = c + d und r·a + s = c·r +d

nach c und d auf, so erhalten wir

    s                 s
d= ———  und c = a -  ———
   1-r               1-r


Folglich müssen wir folgende Formel beweisen:

                  s    n     s
A(n)   a = (a -  ———)·r  +  ———
        n        1-r        1-r

Beweis:
Induktionsanfang:
                 s    0    s
A(0)  a  = (a - ———)·r +  ———   (Formel stimmt für n=0)
       0        1-r       1-r
Induktionsschritt:
                      s    n     s
Sei A(n)   a = (a -  ———)·r  +  ———
            n        1-r        1-r



Daraus ist herzuleiten:

                         s    n+1     s
A(n+1)     a    = (a -  ———)·r    +  ———
            n+1         1-r          1-r


Herleitung:

                           s    n     s
a    = r·a + s = r·[(a -  ———)·r  +  ———] + s
 n+1      n               1-r        1-r


              s    n+1     rs
     = (a -  ———)·r    +  ———  + s
             1-r          1-r


              s    n+1     s       rs         s
     = (a -  ———)·r    +  ——— , da ——— + s = ———
             1-r          1-r      1-r       1-r
                                                 q.e.d.
Beispiel:

Ein Darlehen von 200 000 € wird mit 4% (am Ende des Jahres) verzinst und jährlich (am Ende des Jahres) mit 10 000 € getilgt.

Wie größ ist die Restschuld nach 1 Jahr, nach 2, nach 3, ..., nach n Jahren ? Wann ist es getilgt?

Lösung:
Dies ist ein Folge der Form

          K = a
           0

          K  = r·K + s  für n ≥ 0  (r ≠ 1)
           n+1    n


mit a = 200 000, r=1,04 und s = - 10 000.



Die Lösung lautet also:

                s    n     s                           n
     K = (a -  ———)·r  +  ———  = (200000 - 250000)·1,04  + 250000
      n        1-r        1-r

Somit (alles in €):


K  = 200 000, K = 198 000, K = 195 920, K = 193 756,8, ...
 0             1            2            3

                                           n
Das Darlehen ist getilgt, wenn - 50000·1,04  + 250000 = 0

       n            lg5
=> 1,04 = 5 => n = —————— = 41,035
                   lg1,04


Somit bleibt nach 41 Jahren noch eine Restschuld von


K  = 346,92, die mit der 41 Rate getilgt werden kann.
 41
Bemerkung: Eine einfache Herleitung (ohne vollständige Induktion) der Formel ist:

Rekursionsvorschrift:  a = a    a   = r·a  +s
                        0        n+1     n

  a = a
   0

  a = r·a + s
   1
       2
  a = r ·a +r·s +s
   2

       3    2
  a = r ·a+r ·s + r·s +s
   3

       4      3      2
  a = r ·a + r ·s + r ·s + r·s + s
   4


  ... (der kritische Schritt, der nicht vollständig überzeugt)

       n       n-1   n-2         2
  a = r ·a + (r   + r   + ... + r + r + 1)·s     (*)
   n


  Mit der bekannten Formel der geometrischen Reihe folgt:

                  n
       n     1 - r           s   n    1
  a = r ·a + —————·s = (a - ———)r  + ———
   n         1 - r          1-r      1-r


Bemerkung: Für r=1 ist (*) auch noch gültig: a = a + n·s (für r=1)
                                              n

Lösung zur 6. Aufgabe: (Ein direkter Beweis folgt nach dem Induktionsbeweis):


             2k        k  -1/2
Behauptung: (  ) = (-4) ·(    )  (kεN )
              k             k        0

Beweis:
Induktionsanfang:
             2k     0               k   -1/2        0  -1/2
Für k=0 ist (  ) = ( ) = 1  und (-4) ·(     ) = (-4) ·(    ) = 1·1 = 1
              k     0                     0              0
Die Formel stimmt also für n=0.

Induktionsschritt:
     2k        k  -1/2
sei (  ) = (-4) ·(    )  (für k>0)
     k              k

                 2k+2        k+1  -1/2
Zu bweisen ist: (    ) = (-4)   ·(    )
                  k+1              k+1

Nachweis:
Zur ersten Umwandlung zunächst zwei konkrete Beispiele:

             2k     8    8·7·6·5
Für k=4 ist (  ) = ( ) = ———————
              k     4    1·2·3·4


     2k+2     10    10·9·8·7·6    8  10·9
und (    ) = (  ) = —————————— = ( )·————
      k+1      5     1·2·3·4·5    4  5·5


             2k     10    10·9·8·7·6
Für k=5 ist (  ) = (  ) = ——————————
              k      5     1·2·3·4·5


     2k+2     12    12·11·10·9·8·7    10  12·11
und (    ) = (  ) = —————————————— = (  )·—————
      k+1      6     1·2·3·4·5·6       5   6·6


Jetzt allgemein:


 2k+2     2k  (2k+2)·(2k+1)    2k  2·(2k+1)
(    ) = (  )·————————————— = (  )·————————
 k+1      k    (k+1)·(k+1)      k    k+1


Mit dieser Umwandlung  und


 -1/2    -1/2-k  -1/2         -1/2     -1/2   k+1     -1/2  -2·(k+1)
(    ) = ——————·(    ), also (    ) = (    )·—————— =(    )·————————
 k+1      k+1     k            k        k+1  -1/2-k    k+1    1+2k



        2k+2    2·(2k+1)  2k    2·(2k+1)     k  -1/2
folgt: (    ) = ————————·(  ) = ————————·(-4) ·(    )
         k+1      k+1     k        k+1            k



         2·(2k+1)    k   -1/2  -2·(k+1)
       = ————————·(-4) ·(    )·———————
           k+1           k+1    1+2k


             k+1  -1/2
       = (-4)   ·(    )
                  k+1

                        q.e.d.
Direkter Beweis (mit den für einen mathematischen Puristen verbotenen Pünktchen):

 -1/2       1     3     5         (2k-1)   1
(    ) = (- -)·(- -)·(- -)·...·(- ——————)·——
   k        2     2     2           2     k!


    1 k 1·3·5·...·(2k-1)
=(- -) ·————————————————
    2        k!


    1 k 1·2·3·...·(2k-1)·2k      1 k      (2k)!
=(- -)  ——————————————————— = (- -) ·—————————————
    2     k!2·4·...·2k           4   k!·1·2·3·..·k


    1 k      (2k)!              1 k  2k
=(- -) ·—————————————————— = (- -) ·(  )
    4   k!·1·2·3·..·(2k-k)      4     k

                                        q.e.d. (Jutta Gut)