Aus der Vektorrechnung

Der Schwerpunktsatz

Elementaren Beweis des Schwerpunktsatztes siehe Schwerpunktsatz




Kleinbuchstaben mit Pfeil bezeichnen Ortsvektoren:

->  ——> ->  ——> ->  ——> ->  ——>
a = OA, b = OB, c = OC ,s = OS  u.s.w.

Jetzt wird gerechnet:

->  ->  1——>  ->  1 ->  ->   1->  1->
m = b + -BC = b + -(c - b) = -b + -c
 a      2         2          2    2

       ->  1->  1->    ->  1->  1->
Analog m = -a + -c und m = -a + -b.
        b  2    2       c  2    2

("Mitte von zwei Punkten = Mittelwert").


S sei der Punkt auf AM , der von A den
                      a
        2——
Abstand -AM  hat:
        3  a

->  ->  2 ——>      2 ->  ->
s = a + - AM = a + -(m - a)
        3   a      3  a

                        ->  ->  ->
  ->  2  1->  1->  ->   a + b + c
 =a + - (-b + -c - a) = —————————
      3  2    2            3



Genau denselben Punkt erhält man, wenn man

auf BM  bzw. CM den Punkt sucht, der von
      b        c
                     2——       2——
B bzw. C den Abstand -BM  bzw. -CM  hat.
                     3  b      3  c

S liegt also auf allen drei Seitenhalbierenden und heißt Schwerpunkt. Somit ist bewiesen:
Der Schwerpunkt S teilt die Seitenhalbierenden (Schwerelinien) im Verhältnis 2:1. Und: Für den Schwerpunkt S gilt:




     ->  ->  ->
 ->  a + b + c
 s = ————————— (Mittelwert)
        3

 


              ——>    ——>
Nachtrag: Ist AS = 2·SM , so "teilt S die Strecke AM  im Verhältnis 2:1".
                       a                            a

          ——>  2 ——>
Dann gilt AS = -·AM ! AS sind 2 Teile, SM ist 1 Teil, zusammen also 3 Teile.
               3   a                     a

Beispiel zur Anwendnung des Schwerpunktsatzes:

Der Schwerpunkt des Dreiecks A(1|3|7)B(6|2|5)C(2|1|0) ist


     1 + 6 + 2 3 + 2 + 1 7 + 5 + 0
   S(—————————|—————————|—————————), also S(3|2|4)
         3        3          3

Ein anderer Beweis, der die Kenntnis vom Teilverhältnis 2:1 nicht verwendet, findet sich als Beispiel zum Koeffizientenvergleich.

Hier der Beweis etwas abgewandelt:

 


                          ->  ->    ——>  ->    1->  1->  ->
Bringe die Geraden (AM ): x = a  + sAM = a + s(-b + -c - a )
                      a               a        2    2

                          ->  ->    ——>  ->    1->  1->  ->
                   (BM ): x = b  + tBM = b + t(-a + -c - b )
                      b               b        2    2
                            ->
zum Schnitt. Der Ortsvektor x des Schnittpunktes kann auf zwei Arten

dargestellt werden. Also gilt:

  ->    1->  1->  ->    ->    1->  1->  ->
  a + s(-b + -c - a ) = b + t(-a + -c - b )
        2    2                2    2

        ->  1  ->  1  ->  1  ->          ->  1  ->
  (1-s)·a + -s·b + -s·c = -t·a + (1 - t)·b + -t·c
            2      2      2                  2

Jetzt muss ich für s, und t Zahlen finden, so dass die Koeffizienten gleich sind.

("Koeffizientenvergleich"). Ich löse also das lineare Gleichungssystem:

           1     1             1    1
     1-s = -t    -s = 1 - t    -s = -t
           2     2             2    2

           2         2
Lösung s = - und t = -
           3         3

Damit ist gezeigt, dass der Schnittpunkt von zwei Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2:1 teilt.

Skalarprodukt