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Das Siebeneck, die Dreiteilung des Winkels und die Kubikwurzel

Wenn hier vom Siebeneck die Rede ist, dann ist das ebene, regelmäßige Siebeneck gemeint.

I Die Konstruierbarkeit des Siebenecks

Wie Carl Friedrich Gauß 1804 bewies, lassen sich nur ganz bestimmte (regelmäßige) Vielecke mit Zirkel und Lineal konstruieren:

Wenn n eine Primzahl ist, so lässt sich das Vieleck nur dann mit Zirkel und Lineal konstruieren, wenn n eine Fermatsche Primzahl, also von der Form n=2^{2^k}+1 für ein eine natürliche Zahl k ist.

Das Dreieck, das Fünfeck, das Siebzehneck u.s.w. gehören dazu, das Siebeneck nicht.

Halten wir fest: Das Siebeneck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

II Die Dreiteilung des Winkels und die Kubikwurzel

Die Dreiteilung des Winkels und die Erzeugung eines Würfels mit doppeltem Volumen gehört neben der Quadratur des Kreises zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik.

Multipliziert man die Seitenlänge eines Würfels mit der 3. Kubikwurzel von 2, so erhält man die Seitenlänge eines Würfels mit doppeltem Volumen.

Mit Hilfe einer bahnbrechenden Theorie des französische Mathematikers Evariste Galois (um 1830) kann man nachweisen, dass für alle drei klassischen Probleme die Konstruktion mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Halten wir fest: Die Dreiteilung des Winkels und die Konstruktion der Kubikwurzel ist nicht mit Zirkel und Lineal möglich.

III Die Konstruktion des Siebenecks mit Hilfe der Dreiteilung eines Winkels und einer Kubikwurzel

Das Problem der Konstruktion des Siebenecks ist:
Wie kann ich seinen Mittelpunktswinkel 360°/7 konstruieren?

Da cos(360°/7) nur als Lösung einer Gleichung dritten Grades darstellbar ist, ist der Winkel 360°/7 nicht mit Zirkel und Lineal allein konstruierbar.

Andererseits ist hier die Lösung der Gleichung dritten Grades nach der Formel von Cardano mit Hilfe der Dreiteilung eines Winkels und der Kubikwurzel darstellbar.

Im Folgenden konstruieren wir einen bestimmten Winkel mit Zirkel und Lineal. Nach der Dreiteilung dieses Winkels und der Ermittlung einer Kubikwurzel - wie auch immer (nicht mit Zirkel und Lineal möglich) - ist die Fertigstellung der Konstruktion des Siebenecks mit Zirkel und Lineal ausführbar.

Behauptung: x = cos(360°/7) ist eine Lösung der Gleichung 8x³ + 4x² - 4x - 1 = 0

Beweis:

                  2                        3
Mit cos(2α) = 2cos α - 1 und cos(3α) = 4cos α  - 3 cosα folgt für x = cosα

                                2       3          3    2
cosα+ cos(2α) + cos(3α) = x + 2x -1 + 4x  - 3x = 4x + 2x - 2x - 1

                                               1
Für α = 360°/7 ist cosα+ cos(2α) + cos(3α) = - - (* Nachweis unten)
                                               2


                          360°                 3    2             1
und somit gilt für x = cos———  die Gleichung 4x + 2x - 2x - 1 = - -
                           7                                      2

       3     2
oder 8x  + 4x  - 4x - 1 = 0


Beweis von (*) (Beitrag in de.sci.mathematik

von Thomas Nordhaus und Wolfgang Kirschenhofer Februar 2008)


       360°                  iα            7
für α= ——— und p = cis(α) = e   folgt mit p = 1
        7
                                  7
         2   3   4   5   6   1 - p
1 + p + p + p + p + p + p  = —————  = 0
                             1 - p


Aus Symmetriegründen sind die Realteile von

       6    2     5            4      3
p und p  , p und p  sowie von p  und p  gleich und somit ist

                2        3        3        2
1 + Re(p) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p ) + Re(p) = 0


1 + 2cosα + 2cos(2α) + 2cos(3α) = 0

                                1
=> cosα + cos(2α) + cos(3α) = - -
                                2

Weitere Werte der trigonometrischen Funktionen siehe hier.

Berechnung von x = cos(360°/7) als Lösung 8x³ + 4x² - 4x - 1 = 0 nach Cardano

(Siehe Beispiel b)

Gesucht ist die Lösung der Gleichung

  3   2
8x +4x -4x-d=0


Substitution x=z-b/(3*a) führt auf

 3   7     7
z - ——z - ———  =0
    12    216

Rechnung:

    q 2   p 3     49
d= (-) + (-) = - ————
    2     3      6912

Dann ist

 3    q     -                7          7   -
u = - - + \/d = x+y*i für x=——— und y= ———\/3
      2                     432        144


Mit
                          -
α = arctan(y/x)=arctan(3\/3)

                    ———————
                 3 / 7   -      α
ergibt sich z = 2\/ ———\/7 ·cos(-)
                    216         3


                             ———————
                  360°      3/ 7   -      α    1
und somit x = cos(———) =  2\/ ———\/7 ·cos(-) - -
                   7          216         3    6

Rechnung mit TTMathe (Rechenblatt)

     Lösung von ax^3+bx^2-cx+d=0
a=8
b=4
c=-4
d=-1
    wird auf die red. kub. Gl.
    z^3+p*z+q=0 zurückgeführt.
    Subst. x=z-b/(3*a)
p=c/a-(b/a)^2/3=-7/12
q=2/27*(b/a)^3-1/3*(b/a)*(c/a)+d/a=-7/216
    Lösung von z^3 + pz + q = 0
    nach Cardano
d=(q/2)^2+(p/3)^3=-49/6912
    u^3=-q/2+d^(1/2)=x+y*i für x=7/432 und y=7/144*sqrt(3)
    y/x=3*sqrt(3)
al=arctan(3*sqrt(3)) =1,380670723
   Im Bogenmaß al=57,295779513°
z=2*cbrt(7/216*sqrt(7))*cos(al/3)=0,790156469
x=z-b/(3*a)=0,623489802
   Probe:
phi=arccos(x)=2/7*Pi
phi=360°/7=2/7*Pi

Konstruktion des Siebenecks nach dieser Rechnung

Mit Zirkel und Lineal kann man die Strecke a und den Winkel α konstruieren mit:

      7   -              -
  a= ———\/7  und tanα=3\/3
     216

Wie auch immer konstruiere man den Winkel β und die 3. Wurzel

      α          3 -
  β = -  und b = \/a
      3

konstruiere mit Zirkel und Lineal
```
  x=2·b·cosβ - 1/6

  
```
Konstruiere schließlich mit Zirkel und Lineal das Siebeneck mit dem Mittelpunktswinkel
```
       360°
  φ =  ———  mit cosφ = x
        7
  
```