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7. Lektion: Modulationen
Bei der reinen Stimmung sind folgende Tonschritte
einzuhalten:
|
Dur-Tonleiter
|
G
|
G-
|
H
|
G
|
G-
|
G
|
H
|
Intervall
|
|
|
9/8
|
10/9
|
16/15
|
9/8
|
10/9
|
9/8
|
16/15
|
Frequenzverhältnis
|
|
|
204
|
182
|
112
|
204
|
182
|
204
|
112
|
Cent
|
|
Moll-Tonleiter1
|
G
|
H
|
G-
|
G
|
H
|
G
|
G-
|
Intervall
|
|
|
9/8
|
16/15
|
10/9
|
9/8
|
16/15
|
9/8
|
10/9
|
Frequenzverhältnis
|
|
|
204
|
182
|
112
|
204
|
182
|
204
|
112
|
Cent
|
1) Hier ist die Molltonleiter im Sinne von "melodisch
absteigend" aufgeführt, im Gegensatz zu "melodisch" oder
"harmonisch aufsteigend".
Bezeichnung: G=204 Cent = großer Ganzton, G-= G - K = 182
Cent = kleiner Ganzton, wobei mit K = 22 Cent das syntonische Komma bezeichnet wird und mit H
= 112 Cent der syntonische Halbton.
Die C-Dur Tonleiter hat also folgende Frequenzen:
|
c
|
d
|
e
|
f
|
g
|
a
|
h
|
c'
|
d'
|
e'
|
f'
|
g'
|
a'
|
h'
|
c''
|
d''
|
e''
|
f''
|
g''
|
a''
|
h''
|
c'''
|
|
132
|
148,5
|
165
|
176
|
198
|
220
|
247,5
|
264
|
297
|
330
|
352
|
396
|
440
|
495
|
528
|
594
|
660
|
704
|
792
|
880
|
990
|
1056
|
Die Frequenzverhältnisse entsprechen der Dur-Tonleiter,
wie man durch Nachrechnen überprüfen kann:
148,5 9 165 9 176 16
————— = -, ————— = ——, ——— = —— ...
132 8 148,5 10 165 15
Vergleichen wir damit nun die Frequenzen von G-Dur (Modulation
zur Dominante)
|
g'
|
a'
|
h'
|
c''
|
d''
|
e''
|
fis''
|
g''
|
|
396
|
445,5
|
495
|
528
|
594
|
660
|
742,5
|
792
|
Wir sehen: f hat sich zu fis um einen Halbton, genauer um D = G - H = 92
Cent erhöht, aber auch a hat sich um ein syntonisches Komma K = 22 Cent
erhöht. Im folgenden wird dieses a mit a+ bezeichnet. Häufig wird in Klammer
noch d dazugeschrieben, also a+(d), um anzudeuten: Es handelt sich um eine
Modulation in dominantische Richtung. Entsprechend wird bei der
Modulation statt f der erhöhte
Ton fis(D) mit D in Klammer
geschrieben, um anzudeuten, dass sich der Ton wegen der
Modulation in dominantischer Richtung um einen halben Ton
erhöht hat.
Bezeichnung: d = Erhöhung um 22 Cent (a in a+ in
dominatische Richtung). D = Erhöhung um 92 Cent (f
in fis in dominantische Richtung.
Zusammenfassung:Obwohl Fis in der folgenden Melodie
nicht vorkommt, klingt sie wegen des Tones a verschieden. In
C-Dur hat a die Frequenz von 440Hz, in G-Dur die Frequenz von
445,5 Hz. Diese Melodie bestimmt also schon - unter dem
Gesichtspunkt der reinen Stimmung - die Tonart, ohne dass das
Fis erklingen muß.
Ähnlich sieht der Vergleich bei Modulation in die
Subdominante aus.
|
f
|
g
|
a
|
b
|
c'
|
d
|
e
|
f
|
|
176
|
198
|
220
|
234,7
|
264
|
293,3
|
330
|
352
|
Wir sehen: h hat sich um eine halben
Ton G - H in b(S) und d um ein Komma in d-(s) erniedrigt.
Bezeichnung: s = Erniedrigung um 22 Cent (d in d- in
subdominatische Richtung). S = Erniedrigung um 92 Cent
(h in b in subdominantische Richtung.
Wir können die groben und feinen Änderungen bei der
Modulation von C-Dur in G-Dur folgendermaßen eindeutig
kennzeichnen. (Dies erledigt übrigens das Programm
TTMusik).
C d e f g a h c Dur
|
|
G a+(d) h c d e fis(D) g Dur (eine Quinte höher)
|
(Damit werden die groben, im Notenbild sichtbaren, und die
feinen, im Notenbild unsichtbaren, Änderungen eindeutig
gekennzeichnet.
Hier noch die Modulation von C-Dur nach F-Dur.
|
C d e f g a h c Dur
|
|
F g a b(S) c d-(s) e f Dur (eine Quinte tiefer)
|
Wir können die Modulation in die Tonart "eine Quinte
höher/tiefer" auch über zwei Modulationen "eine Terz
höher oder tiefer" erreichen. Das sind dann jeweils die
Tonarten der Moll- bzw. Durparallelen.
|
C d e f g a h c Dur
|
C-Dur
|
|
e fis(D) g a h c d e moll (eine Terz höher)
|
e-moll
|
|
G a+(d) h c d e fis(D) g Dur (eine Terz höher)
|
G-Dur
|
|
C d e f g a h c Dur
|
C-Dur
|
|
a h c d-(s) e f g a moll (eine Terz tiefer)
|
a-moll
|
|
F g a b(S) c d-(s) e f Dur (eine Terz tiefer)
|
F-Dur
|
Wir erkennen: Bei Modulation um eine Terz tiefer (C-Dur in
a-moll) oder um eine Terz höher (C-Dur in e-moll)
ändert sich genau ein Ton. Nochmals um eine Terz nach oben
oder unten moduliert ergibt sich die Modulation in die
Dominante bzw. Subdominante.
In diesem Sinne kann man Modulationen nach Stufen ordnen.
Hier ein Ausschnitt aus dem Kapitel Modulationen nach Stufen
geordnet.
|
Modulation 1. Stufe
|
Geänderte Töne
|
|
|
C-Dur -> e-Moll
|
f->fis(D)
|
Übergang in die Paralleltonart (D=92 Cent:in
Richtung Dominante)
|
|
c-Moll -> Es-Dur
|
f->f+(d)
|
Übergang in die Paralleltonart (d=22 Cent:in
Richtung Dominante)
|
|
C-Dur -> a-Moll
|
d->d-(s)
|
Übergang in die Paralleltonart (s=-22Cent:in
Richtung Subdominante)
|
|
c-Moll -> As-Dur
|
d->des(S)
|
Übergang in die Paralleltonart (S=-92 Cent:in
Richtung Subdominante)
|
|
|
Der Übergang zur Paralleltonart wird hier unter dem
Gesichtspunkt der reinen Stimmung als "Modulation 1.
Stufe" bezeichnet, weil sich genau ein Ton
ändert.
In dieser Untersuchung ist es gleichgültig, ob sich
die Änderung um einen Halbton oder um ein Komma
bezieht.
Und deshalb gibt es auch nicht die Bezeichnung
"Übergang in die Paralleltonart der Dominante".
Sinnvoller ist dafür die Bezeichnung Übergang
in die Paralleltonart in Richtung Dominante.
(Genauer:
D: um einen Halbton in Richtung
Dominante.
d: um ein syntonisches Komma in
Richtung Dominante.)
Die Modulation 2. Stufe zur Dominante ist dann "dD" bzw.
"Dd" und zur Subdominante "sS" bzw. "Ss" (siehe unten).
|
Im Kapitel Feinanalyse wird die
"Mollparallele in Richtung Dominante" auch "dominantische
Mollparallele" genant.
-
In den nächsten Tabellen erscheinen bei den
"Übergängen" folgende Bezeichnungen für
Modulationen und deren Hintereinanderausführungen.
Dieses sind die Menüpunkte in TTMusik, um sich Tonleitern
"ausrechnen" zu lassen.
-
T: Modulation 1. Stufe um eine Terz höher.
Dur-Tonleiter in moll-Tonleiter:
Große Terz.
moll-Tonleiter in Dur-Tonleiter: Kleine
Terz.
-
t: Modulation 1. Stufe um eine Terz tiefer.
Dur-Tonleiter in moll-Tonleiter: kleine
Terz.
moll-Tonleiter in Dur-Tonleiter:
große Terz.
-
Q=TT: Modulation 2. Stufe um eine Quinte höher (Zur
Dominante).
-
q=tt: Modulation 2. Stufe um eine Quinte tiefer(Zur
Subdominante).
-
m: Modulation von Dur in Moll und umgekehrt.
|
Modulationen 2. Stufe:
|
Übergang
|
Geänderte Töne
|
|
C-Dur -> G-Dur
|
C e G(Q=TT)
|
f->fis(D), a ->a+(d)
|
|
c-Moll -> g-Moll
|
c Es g(Q=TT)
|
f->f+(d), as->a(D)
|
|
C-Dur -> F-Dur
|
C a F(q=tt)
|
d->d-(s), h ->b(S)
|
|
c-Moll -> f-Moll
|
c As f(q=tt)
|
d->des(S), b ->b-(s)
|
Jetzt wird es spannend. Haben Sie sich nicht oft schon Gedanken
gemacht, wie Sie die folgenen Modulationen einordnen
sollen?
|
Modulationen 3. Stufe:
|
Übergang
|
geänderte Töne
|
|
C-Dur -> h-Moll
|
C e h(TQ)=C G h(QT)
|
c->cis(d), f->fis(D), a ->a+(d)
|
|
c-Moll -> B-Dur
|
c Es B(TQ)=c g B(QT)
|
c->c+(d), f->f+(d), as->a(D)
|
|
C-Dur -> (d-)-Moll
|
C a d(tq)C F d(TQ)
|
d->d-(d), g->g-(s), h->b(S)
|
|
c-Moll -> Des-Dur
|
c As Des(tq)=c f Des(qt)
|
d->des(S), g->ges(S), b->b-(s)
|
|
|
|
|
|
c-Moll -> C-Dur
|
(m)
|
es->e(Ds), as->a(Ds), b->h(Ds)
|
|
C-dur -> c-Moll
|
(m)
|
e->es(Sd), a->as(Sd), h->b(Sd)
|
Studieren wir diesem System die folgende Harmonisierung:
|
C d e f g a h c Dur
e fis(D) g a h c d e moll (eine Terz höher)
C d e f g a h c Dur (eine Terz tiefer)
F g a b(S) c d-(s) e f Dur (eine Quinte tiefer)
C d e f g a h c Dur (eine Quinte höher)
e fis(D) g a h c d e moll (eine Terz höher)
(Eingerückt bedeutet: Übergang von F-Dur nach h-moll
h cis(D) d e fis(D) g a+(d) h moll (eine Quinte höher)
e fis(D) g a h c d e moll (eine Quinte tiefer)
C d e f g a h c Dur (eine Terz tiefer)
F g a b(S) c d-(s) e f Dur (eine Quinte tiefer)
B(S) c d-(s) es(S) f g-(s) a b(S) Dur (eine Quinte tiefer)
F g a b(S) c d-(s) e f Dur (eine Quinte höher)
C d e f g a h c Dur (eine Quinte höher)
|
Man sieht: Die Melodie c h a h g a h c ("Vom Himmel hoch
da komm ich her") ist dieselbe, als wäre sie in C-Dur
harmonisiert, keine Komma geändert. Vergleicht man die
übrigen Noten im Satz, dann sieht man, dass außer Dis
und Es einzig im 3-letzten Akkord dd'a'h' die beiden d's um ein
Komma zu d-(s) erniedrigt wurde.
Der Quintenzirkel in reiner Stimmung
Ausgehend von der reinen C-Dur-Tonleiter erfolgen folgende Tonhöhenverschiebungen.
Der Übersichtlichkeit gleiche Töne untereinander. Von Zeile zu Zeile ändert sich nur ein Ton um
einen Halbton oder um ein syntonisches Komma.
| Ces-Dur- |
ces- |
des- |
es- |
fes- |
ges- |
as- |
b- |
ces- |
des- |
es- |
fes- |
ges- |
as- |
b- |
es-moll- |
ces- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as- |
b- |
ces- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as- |
b- |
| Ges-Dur- |
ces- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as |
b- |
ces- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as |
b- |
| b-moll- |
c- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as |
b- |
c- |
des- |
es- |
f- |
ges- |
as |
b- |
| Des-Dur- |
c- |
des- |
es |
f- |
ges- |
as |
b- |
c- |
des- |
es |
f- |
ges- |
as |
b- |
| f-moll- |
c- |
des- |
es |
f- |
g- |
as |
b- |
c- |
des- |
es |
f- |
g- |
as |
b- |
| As-Dur |
c- |
des- |
es |
f- |
g- |
as |
b |
c- |
des- |
es |
f- |
g- |
as |
b |
| c-moll- |
c- |
d- |
es |
f- |
g- |
as |
b |
c- |
d- |
es |
f- |
g- |
as |
b |
| Es-Dur |
c- |
d- |
es |
f |
g- |
as |
b |
c- |
d- |
es |
f |
g- |
as |
b |
| g-moll- |
c- |
d- |
es |
f |
g- |
a |
b |
c- |
d- |
es |
f |
g- |
a |
b |
| B-dur |
c |
d- |
es |
f |
g- |
a |
b |
c |
d- |
es |
f |
g- |
a |
b |
| d-moll- |
c |
d- |
e |
f |
g- |
a |
b |
c |
d- |
e |
f |
g- |
a |
b |
| F-Dur |
c |
d- |
e |
f |
g |
a |
b |
c |
d- |
e |
f |
g |
a |
b |
| a-moll |
c |
d- |
e |
f |
g |
a |
h |
c |
d- |
e |
f |
g |
a |
h |
| C-Dur |
c |
d |
e |
f |
g |
a |
h |
c |
d |
e |
f |
g |
a |
h |
| e-moll |
c |
d |
e |
fis |
g |
a |
h |
c |
d |
e |
fis |
g |
a |
h |
| G-Dur |
c |
d |
e |
fis |
g |
a+ |
h |
c |
d |
e |
fis |
g |
a+ |
h |
| h-moll |
cis |
d |
e |
fis |
g |
a+ |
h |
cis |
d |
e |
fis |
g |
a+ |
h |
| D-Dur |
cis |
d |
e+ |
fis |
g |
a+ |
h |
cis |
d |
e+ |
fis |
g |
a+ |
h |
| fis-moll |
cis |
d |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h |
cis |
d |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h |
| A-Dur+ |
cis |
d |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h+ |
cis |
d |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h+ |
| cis-moll |
cis |
dis |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h+ |
cis |
dis |
e+ |
fis |
gis |
a+ |
h+ |
| E-Dur+ |
cis |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
a+ |
h+ |
cis |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
a+ |
h+ |
| gis-moll |
cis |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
cis |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
| H-Dur+ |
cis+ |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
cis+ |
dis |
e+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
| dis-moll |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis |
ais+ |
h+ |
| Fis-Dur+ |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
h+ |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
h+ |
| ais-moll+ |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
his+ |
cis+ |
dis |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
his+ |
| Cis-Dur+ |
cis+ |
dis+ |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
his+ |
cis+ |
dis+ |
eis+ |
fis+ |
gis+ |
ais+ |
his+ |
Bezeichnungen: x+ und x-: Ton ist um ein syntonisches Komma höher bzw. tiefer.
Die angebenen Molltonarten sind natürlich Moll, im Gegensatz zu melodisch oder harmonisch Moll.
Chromatischer Halbton: (Veränderung von f in fis, c in cis usw.
bzw von h in b, e in es u.s.w.): Frequenzverhältnis 135/128 entspricht 92,2 Cent.
Syntonisches Komma: Frequenzverhältnis 81/80 entspricht 21,5 Cent.
Eine Klaviatur mit 24 Tasten kann jede Tonart rein spielen
Wenn man die Töne, die nur 2 Cent auseinander liegen, mittelt.
Die zugrunde liegende Rechnung ist hier aufgezeigt (alles in Cent):
o=1200 Oktave
q=1200*lb(3/2)=701,96 Quinte
t=1200*lb(5/4)=386,31 Terz
s=1200*lb(81/80)=21,51 syntonisches Komma
x=1200*lb(135/128)=92,18 chromatischer Halbton
c=0
d=2q-o=203,91
e=t=386,31
f=o-q=498,04
g=q=701,96
a=f+t=884,36
h=g+t=1088,27
d1=d-s=182,4 (d1 steht für d- u.s.w)
b=h-x=996,09
g1=g-s=680,45
es=e-x=294,13
c1=c+o-s=1178,49
as=a-x=792,18
f1=f-s=476,54
des1=d1-x=90,22
b1=b-s=974,58
ges1=g1-x=588,27
es1=es-s=272,63
ces1=c1-x=1086,31
as1=as-s=770,67
fes1=f1-x=384,36
fis=f+x=590,22
a2=a+s=905,87 (a2 steht für a+ u.s.w)
cis=c+x=92,18
e2=e+s=407,82
gis=g+x=794,13
h2=h+s=1109,78
dis=d+x=296,09
fis2=fis+s=611,73
ais2=a2+x=998,04
cis2=cis+s=113,69
eis2=e2+x=500
gis2=gis+s=815,64
his2=h2+x=1201,95
dis2=dis+s=317,6
