Definition des Logarithmus ohne gebrochene Hochzahlen
Zunächst ein Beispiel:
Wir haben gesehen: die Quint ist der lb(1.5)-fache Teil der Oktave:
3
Qui = lb(-)Ok
2
3 3
lb(-) ist die Zahl y mit der ich 2 potenzieren muss, um - zu erhalten:
2 2
3 y 3
y=lb(-) <=> 2 = - (*)
2 2
0 1
Da 2 = 1 und 2 = 2 folgt 0 < y < 1
3
Also ist y in der Nähe von vielleicht -.
4
3
-
4
Was bedeutet aber 2 ?
3 3
- -
4 4 - 4
Für den Mathematiker ist klar: 2 = \/8 . Also ist 2 die
die positive Zahl, die vier Mal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt.
Um den Logarithmus definierten zu können, muss ich also die
Potenzen von gebrochenen Hochzahlen beherrschen.
Ich habe mich gefragt: Kann man das Intervall der Quinte
nicht elementarer annähern?
Das ist möglich!
Und das Erstaunliche dabei ist: Ich lande wieder bei den
pythagoreischen Abschätzungen!
m
Diesmal mache ich den Ansatz: Der Bruch - (m, n natürliche Zahlen) soll
n
3
den Logarithmus lb(-) annähern. Dann wird aus der Äquivalenz (*)
2
m
-
m 3 n 3
die Äquivalenz - = lb(-) <=> 2 = - . Und diese kann ich umformen zu:
n 2 2
m 3 m 3 n
- = lb(-) <=> 2 = (-)
n 2 2
Musikalisch gesprochen: Ich betrachte Vielfache der Quinte mit
Vielfachen der Oktave.
Dass das mit ganzen Zahlen nicht lösbar ist,
führte im vergleichbaren Fall der Geometrie zum depressiven Zustand der Pythagoreer:
Ihr göttliches Dogma "Alles ist Zahl" zerbrach.
Die Näherungszahlen kennen Sie schon: siehe Lektion 3.
Das fett gedruckte Verhältnis bedeutet musikalisch: 12 Quinten sind ungefähr 7 Oktaven.
Wählen wir als zweites Intervall die große Terz mit dem Frequenzverhältnis
5:4. Diesmal türmen wir
große Terzen aufeinander und vergleichen es mit Oktaven:
Erste Näherung: 3 große Terzen
ergeben ungefähr eine (etwas zu tiefe) Oktav
.
5 1 5 3
Mathematisch: lb(-) ungefähr - , da (-) =1,953 ungefähr 2
4 3 4
Einen besseren Vergleich ergibt: Drei Terzen hoch und eine Oktav zurück:
5 3
(-) : 2 = 0,977 (Fehler: 2,3%)
4
Gehen wir weitere Terzen nach oben und passend Oktaven nach unten, dann
erhalten wir die nächst bessere Näherung erst nach 28 Terzen
(28 Terzen hoch und 9 Oktaven abwärts).
5 9 5 28 9
Mathematisch: lb(-) ungefähr ——, da (-) : 2 = 1,00974 (Fehler: 0,974%)
4 28 4
5
Als Tabelle für die Näherungswerte (mit dem Fehler) von lb(-) erhalten als
4
1 9 19 47 207
- (2,3%), —— (0,974%), —— (0,43%), ——— (0,104%), ——— (0,016%), ...
3 28 59 146 643
5
Ganz ohne Taschenrechner ist es so uns möglich lb(-) zu berechnen.
4
Anhang a Hörpsychologischer Algorithmus zur Berechnung des lb(x)
Für Informatiker wird im folgenden ein Algorithmus
zur Berechnung des lb(x) angeführt:
Aufgabe:
n
1,5
y = ——— soll möglichst genau 1 annähern (siehe Anhang 2)
m
2
Hörpsychologischer Algorithmus:
Setze zu Anfang m=0 und n=0:
Gehe Quinten nach oben, erhöhe n jeweils um 1.
Wenn du eine Oktave übertriffst, dann
gehe eine Oktave nach unten, erhöhe m um eins und
notiere (m;n) für den Näherungswert m/n von lb(1,5).
Die Tonfolge und zugehörige Wertepaare wäre folgende:
c g d' d (2;1) a e' e (4;2) h fis' fis (6,3) cis' cis (7;4)
gis dis' dis (9;5) ais eis' eis (11;6) his =?= c (12;7)
Ich erhalte so die Näherungswerte m/n für lb(1.5) = 0,584 962 ...
m n m/n
1 2 0,5
2 4 0,5
3 6 0,5
4 7 0,571 429
5 9 0,555 556
6 11 0,545 455
7 12 0,583 333
...
7
Bemerkung: Gut bekannt ist die Näherung lb(1,5)=——
12
Mit dem Quintenzirkel von 12 Quinten erhalte ich 7 Oktaven.
(Nicht genau: Der Unterschied ist das pythagoreische Komma.)
Mathematische Beschreibung zur Berechnung von lb(x):
(Eps ist die Schranke für die gewünschte Genauigkeit,
zum Beispiel eps=0,0001)
Setzte Anfangswerte: m=0, n=0 und y=1.
Wiederhole die folgenden Zeilen bis |y - 1| < eps
Multipliziere y mit x und erhöhe n um 1 solange bis y > 2.
Dividiere y durch 2 und erhöhe m um 1.
Der Näherungswert von lb(x) ist dann m/n.
In der "Delphi-Ecke" natürlich noch als Pascal-Programm:
function lb(const x: extended): extended;
const eps = 1E-4;
var m,n,y,y0: extended;
{y = x^n/2^m soll möglichst nahe 1 approximieren}
begin
if x < 0 then raise EMathError.Create('Negativer lb existiert nicht!');
if x < 1 then Begin
result := - lb(1/x); //da lb(x) = - lb(1/x);
exit; //lb rekursiv
End;
if x > 2 then Begin
result := 1 + lb(x/2); //da lb(x) = lb(2*x/2) = 1 + lb(x/2) )
exit; //lb rekursiv
End;
//Jetzt 1 < x < 2 m := 0;
n := 0;
y := 1;
y0 := 100; //Schlechter als der erste y-Wert
repeat
repeat
y := y*x;
inc(n);
until y > 2;
y := y/2;
inc(m);
if abs(y - 1) < abs(y0 - 1) then Begin
y0 := y;
//Gib zu Testzwecken m und n passend aus
End;
until abs(y - 1) < eps;
result := m/n;
end;
Die Ausgabe sieht dann folgendermaßen aus:
m n m/n
1 2 0,5
4 7 0,571 429
7 12 0,583 333
31 53 0,584 906
210 359 0,584 958
389 665 0,584 962
...
Anhang b
Mathematischer Algorithmus zur Berechnung des lb(x)
hörpsychologisch interpretiert
Der folgende Algorithmus ist die einfachste Form des üblichen mathematischen Verfahrens,
um den lb(x) zu berechnen.
Ich erläutere ihn mit Qui = lb(3/2)·Ok. Analog geht dies auch mit jedem
Intervall der Oktave.
1
Da 2Qui > 1Ok, folgt Qui = -Ok + r (r : "kleiner" Rest)
2 1 1
Wir betrachten nun das Intervall i = 2Qui - Ok = 2r .
1 1
Nun verdoppeln wir das Intervall i und vergleichen es mit der Oktav.
1
Hier ist i der Ganzton und i = 2i die (pythagoreische) große Terz.
1 2 1
Wäre i > Ok gewesen, hätten wir i = 4Qui - 2Ok = Ok + "kleiner" Rest.
2 2
1 1
Wir könnten also schreiben Qui = -Ok + -Ok + ("kleiner" Rest):4 (Konjunktiv!).
2 4
1 1
Da aber i kleiner als die Oktave ist folgt: Qui = -Ok + 0·-Ok + "kleiner" Rest.
2 2 4
1
Wobei ("kleiner" Rest) < -Ok ist.
4
Durch Verdoppeln der Intervalle können wir in ähnlicher Weise feststellen,
1 1 1
ob wir noch -Ok, ——Ok ——Ok zur Quinte hinzurechnen können.
8 16 , 32
Auf diese Weise erhalten wir:
1 1 1 1 1 1
Qui = (- + —— + —— + ——— + ——— + ———— + ...)Ok = 0,58496Ok + kleiner "Rest"
2 16 64 256 512 1024
3
Mit dem Taschenrechner gerechnet: Qui = lb(-)Ok = 0,5849625Ok.
2
Diesen Algorithmus beschreibe ich im folgenden mathematisch:
Wir rechnen mit dem Frequenzverhältnis x (Bei der Quinte x=3/2).
Der Näherungswert a für lb(x) wird laufend verbessert.
Setzte Anfangswert a=0 und y = x.
0
2 2 1
Ist y > 2, dann setze y = y - 2 und addiere - zu a,
0 1 0 2
2
andernfalls setze y = y und addiere nichts zu a.
1 0
2 2 1
Ist y > 2, dann setze y = y - 2 und addiere - zu a,
1 2 1 4
2
andernfalls setze y = y und addiere nichts zu a.
2 1
1 1 1
Fahre so fort und addiere gegebenenfalls -, ——, ——, ...
8 16 32
Als Delphi-Programm:
function lb(const x: real): real;
var y, potenzvon2, a: real; //oder statt "a" gleich "result"
k: integer;
//Iteration lb(x) = 0,y1y2y3y4y5... (dual)
//lb(x*x)=2*lb(x) = y1,y2y3y4y5 ...
//Durch Quadrieren von x erhält man die Dualdarstellung
begin
if x < 0 then raise EMathError.Create('Negativer lb existiert nicht!');
if x < 1 then Begin
result := - lb(1/x); //da lb(x) = - lb(1/x);
exit; //rekursiv
End;
if x > 2 then Begin
result := 1 + lb(x/2); //da lb(x) = lb(2*x/2) = 1 + lb(x/2) )
exit; //rekursiv
End;
//Nun der eigentliche Algorithmus für 1 < x <= 2
potenzvon2 :=1;
y := x;
a := 0;
for k := 1 to 64 {Je nach Genauigkeit des Zahlentyps} do Begin
potenzvon2 := potenzvon2/2; //1/2 1/4 1/8 1/16 ...
y:= y*y;
if y > 2 then Begin
y := y/2; 1 1 1
a := a + potenzvon2; //a = ?·- + ?·- + ?·- + ... ? = 0 oder 1
End; 2 4 8
End;
result := a;
end;
5. Lektion