Wie erklingen Akkorde, wenn sie nur rein oder mitteltönig erklingen dürfen

Die musikalische Feinanalyse
I Grundlagen des Programms TTMusik

Einführung: Lektionen zur Musiktheorie

Folgender Sachverhalt soll analysiert werden:
Wie erklingen Akkorde, wenn sie nur rein erklingen dürfen?
Dabei gehe ich von folgender These aus:

Chöre, Streichquartette u.s.w. können Intervalle nur rein oder unrein intonieren, aber niemals gleichschwebend!

TTMusik dient zur Darstellung eines Referenzklanges (das gleichschwebende Klavier ist dazu ungeeignet) und zur harmonischen Feinanalyse eines Chorstücks. In der reinen Stimmung gibt es nicht nur Veränderungen um einen Halbton, z.B. "f" in "fis" sondern auch Veränderungen um ein Terzkomma (siehe unten: Frequenzverhältnis 81/80). Dies ist in der üblichen Notation aber nicht sichtbar und soll durch TTMusik hörbar und verständlich werden.

z.B. Der Ton "d" mit der Frequenz 297 Hertz wird um ein Terzkomma tiefer zu "d-" mit der Frequenz 293 Hertz, d.h. Der Ganztonschritt "c->d" kann einmal das Frequenzverhältnis 9/10, das andere Mal das Frequenzverhältnis 10/9 haben.

Im Folgenden wird der große Ganzton mit "G", der kleine mit "G-" bezeichnet.

Sie können diese Unterschiede mit dem Programm TTMusik studieren. TTMusik errechnet das Gewünschte und macht es hörbar. Damit lernen Sie auch die Harmonik besser verstehen. (TTMusik erzeugt die Töne digital äußerst exakt. Sie können noch Schwebungen von 440 und 440,05 Hertz wahrnehmen).

Erklärung der "Feinmodulation" beim Übergang von C-Dur nach a-moll

TTMusik macht dies sichtbar. Alle Berechnungen können in TTMusik durchgeführt werden

Frequenzen
	c	d	e	f	g	a	h	c	d	e	f	g	a
C-Dur	132	148,5	165	176	198	220	247,5	264	297	330	352	396	440
A-Moll						220	247,5	264	293	330	352	396	440

Die Quinte DA ist in C-Dur unrein (Frequenzverhältnis 40/27), in A-Moll aber rein (Frequenzverhältnis 3/2).

Frequenzverhältnisse
	c/d	d/e	e/f	f/g	g/a	a/h	h/c	c/d	d/e	e/f	f/g	g/a
C-Dur:	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9	9/8	16/15	9/8	10/9	16/15	9/8	10/9
C-Dur	G	G-	H	G	G-	G	H	G	G-	H	G	G-
a-Moll						9/8	16/15	10/9	9/8	16/15	9/8	10/9
a-Moll						G	H	G-	G	H	G	G-
Legende: G=großer Ganzton (204Cent) G-=kleiner Ganzton (182 Cent) H=Halbton (112 Cent) Zum Vergleich: gleichstufige Stimmung. Ganzton=200 Cent Halbton=100 Cent

Nebenbei bemerkt: Der Unterschied von "G" und "G-" entstand dadurch, dass man im 16. Jahrhundert bei der Mehrstimmigkeit die reine Terz "ce" mit dem Frequenzverhältnis 5/4=9/8*10/9 als konsonant erklingen lassen wollte. (Die pythagoreische Terz mit dem Frequenzverhältnis 9/8*9/8=81/64 ist dissonant! Unterschied: Das Terzkomma mit dem Frequenzverhältnis 81/80.)

Sie sehen:	In C-Dur ist der Übergang c->d ein großer Ganzton "G"
	In a-moll ist der Übergang c->d ein kleiner Ganzton "G-"

Ebenso können Sie feststellen, dass beim Übergang von C-Dur in die Tonart F-Dur der Subdominante sich nicht nur "h" in "b" ändert, sondern auch "d" in "d-".

Der Unterschied des reinen Subdominantenparallelelakkordes "d-fa" zum unreinen Akkord "dfa" der C-Dur-Tonleiter erkennt man an der Klangfarbe.

Der neapolitanischen Sextakkord übertreibt: "d" wird "des" (einzigartige Klangfarbe!)

Beim Übergang C-Dur in e-Moll ändert sich "f" zu "fis", beim Übergang C-Dur in G-Dur nicht nur "f" in "fis", sondern auch "a" in "a+".

Am Beispiel "Übergang von C-Dur nach D-Dur" sieht man, wie sich zwei Töne um einen Halbton und zwei Töne um ein Terzkomma verändern.

Um diese Feinübergänge zu studieren dient "TTMusik". Das erste "T" bedeutet: Notation als "Text". Das zweite steht für "Tabelle". (In der Philosophie von "TTW" wird Texten eine Interpretation als Tabelle gegeben und damit auf aufwendige Datenverarbeitungsprogramme verzichtet.)

Die Feinanalyse erzwingt auch eine genauere Bezeichnungsweise in der Harmonielehre.

Die These des Autors von TTMusik "Der Übergang zur Mollparallele von C-Dur nach e-moll ist harmonisch dasselbe wie der Übergang von C-Dur nach a-moll." kann mit TTMusik leicht gezeigt werden. Ein Ton wird beidesmal alteriert: Herkömmlich ersichtlich beim Übergang von C-Dur in e-Moll nur "f" in "fis". In TTMusik zusätzlich erkennbar: beim Übergang C-Dur in a-moll auch "d" in "d-" (siehe unten).

Analog kann mit TTMusik die folgende These gezeigt werden: "Der Übergang zur Durparallele von c-moll nach As-Dur ist harmonisch dasselbe wie der Übergang von c-Moll nach Es-Dur."

In der herkömmlichen Harmonielehre ist die Doppeldominante in Moll dasselbe wie die Mollparallele der Subdominante. TTMusik zeigt: Beides ist schon eine Modulation, die sich nicht erst in der farblichen Verstärkung zur Dur-Doppeldominante und Neapolitanischer Sextakkord zeigt.

Deshalb schlägt der Autor folgende Bezeichnung vor:

a-moll ist die	subdominantische	Mollparallele von C-Dur
e-moll ist die	dominantische	Mollparallele von C-Dur
As-Dur ist die	subdominantische	Durparallele von c-moll
Es-Dur ist die	dominantische	Durparallele von c-moll

Im Kapitel Modulationen wird gezeigt, dass zum Beispiel a-Moll eine Modulation von C-Dur in Richtung Subdominante ist.

Alle Parallelen sind gleichberechtigt (jeweils ein Ton wird alteriert: um einen Halbton oder um ein Terzkomma).

Die Alternative

"a-moll ist die Mollparallele von C-Dur"
"e-moll ist die Mollparallele der Dominante von C-Dur"

erweckt den Eindruck, als sei nur eine Parallele eine Modulation, die andere nicht. Und das ist unter dem Gesichtspunkt der reinen Stimmung nicht korrekt!

Das Stimmungsprinzip von TTMusik ist folgendes. Für jede Tonart sind 12 Töne so verfügbar, dass z.B. in C-Dur/c-moll die Akkorde ceg, fac, ghd (Dur), ce*g, fa*c, gbd (moll e*=Es a*=As), sowie d*fa* (d* = Das "phrygische" Des) und df# (f# = fis = Die Terz der Doppeldominante) rein erklingen (reine Terzen und reine Quinten).

Aber c# (Cis) z.B. wird in TTMusik in C-Dur/c-moll mit d* (Des) verwechselt. Sie erkennen das jedoch sofort an den unreinen Akkorden z.B. dem Akkord ac#e mit der verminderten Quart ad* (Frequenzverhältnis 32/25) und dem übermäßigen Ganzton d*e (Frequenzverhältnis 75/64). Cis hat in C-Dur absolut nichts zu suchen (Ausnahme: chromatischer Übergang), wohl aber z.B. in D-Dur. Und das muss in TTMusik auch vermerkt werden.

Ich halte das für eine gute harmonische Übung: Man muss wissen, wo man sich befindet, wohin es geht und wie man wieder in die ursprünliche Tonart zurückkommt, ohne in die "Kommafalle" zu tappen. Beispielsweise ist in C-Dur der Übergang zur Paralleltonart der Subdominante mit dem Akkord dfa eine Modulation, da sich d um ein Terzkomma verschiebt. (In TTMusik können Sie das noch der Tonart F-Dur zuorden.) Im Gegensatz zu den feststehenden mitteltönigen, wohltemperierten oder gleichschwebenden Stimmungen sind die Frequenzen in TTMusik flexibel anpaßbar.

Noch genauer gefaßt:
Die Frequenzverhältnisse zwischen den aufeinanderfolgenden Tönen der 12-Tonskala kann man für C-Dur folgender Tabelle entnehmen.

Intervall	Frequenzverhältnis	In Cent	in T
cd*	16/15	111,7	5
d*d	135/128	92,2	4
de*	16/15	111,7	5
e*e	25/24	70,7	3
ef	16/15	111,7	5
ff#	135/128	92,2	4
f#g	16/15	111,7	5
ga*	16/15	111,7	5
a*a	25/24	70,7	3
ab	27/25	133,2	6
bh	25/24	70,7	3
hc	16/15	111,7	5

Die letzte Zeile sind Näherungswerte für Vielfache des Kommas T (Terzkomma T = 21,5 Cent, Pythagoreisches Komma T = 23,5 Cent), wobei für den großen G und kleinen Ganzton G- gilt: G=9T und G-=8T.

Die Neunteilung des Ganztons kommt der reinen Stimmung erstaunlich nahe und wurde in den Lehrwerken seit dem 17 Jahrhundert praktiziert.

Für das "Komma" wurde die Spannbreite Terzkomma bis pythagoreisches Komma angenommen.

Bezogen auf das Terzkomma sind statt 3;4;5;6;8 oder 9 die genaueren Werte:
3,286; 4,286; 5,195; 6,195; 8,481 und 9,481.

Bezogen auf das pythagoreische Komma sind die genaueren Werte:
3,012; 3,929; 4,763; 5,679; 7,775 und 8,691.

Sie können nun mit TTMusik kritischen Chorpassagen analysieren lassen. Belassen Sie bei einem Akkord versehentlich die "falsche" Tonart, sehen Sie sofort an den unreinen Intervallen, dass eine Feinmodulation stattfand. Sie müssen die Tonart wechseln.

Sie müssen sich dann noch entscheiden: Geht es in Richtung Subdominante oder in Richtung Dominante bzw. beim Übergang zur Paralleltonart eine Terz nach oben (C-Dur nach e-moll bzw. c-Moll nach Es-Dur) oder eine Terz nach unten (C-Dur nach a-Moll bzw. c-moll nach As-Dur). Bei der Rückkehr zur "Heimattonart" sehen Sie sofort an den Frequenzen, ob Sie in eine "Kommafalle" getappt sind oder nicht.

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Modulationslehre