Flächenberechnungen Das (Riemann-)Integral

Durch Verallgemeinerung des Problems Strukturen des Lösungsumfeldes aufdecken.

Problem: Wie kann ich für möglichst viele Funktion f den Flächeninhalt A des "krummlinigen" Trapezes unter dem Schaubild von f über dem Intervall [a,b] berechnen? Gesucht ist also der Flächeninhalt zwischen dem Schaubild von f, der x-Achse und den Geraden mit den Gleichungen x=a und x=b (a < b). Mit der Berechnung des Flächeninhaltes löst man viele weitere Probleme. Zum Beispiel: Bestimmung des zurückgelegten Weges, wenn die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit gegeben ist. Bestimmung der aufgewendeten Arbeit, wenn die Kraft entlang des Weges in Abhängigkeit des Weges gegeben ist. Bestimmung der aufgewendeten Arbeit, wenn die Leistung in Abhängigkeit von der Zeit gegeben ist. Bestimmung des transportierten Öls, wenn die Durchflussgeschwindigkeit in einer Pipeline in Abhängigkeit von der Zeit gegeben ist.

Für viele Jahrhunderte die einzige Lösungsmöglichkeit: Unterteile die Fläche in n "krummlinige" Trapeze und berechne den Flächeninhalt der darunterliegenden Rechtecke: Hier (bei einer monoton steigenden Funktion) berechnet sich die "Untersumme" zu AU = [f(a) + f(a+h) + f(a+2h) + ... + f(a+(n-1)h]·h Entsprechend berechnet sich die "Obersumme" zu AO = [f(a+h) + f(a+h) + f(a+2h) + ... + f(a+h)]·h. Es gilt: AU < A < AO. Als Näherungswert kann man etwa den Mittelwert der Untersumme und Obersumme für "großes" n wählen. Nur bei ganz wenigen Kurven konnte man durch Übergang zum Grenzwert für n -> ∞ den exakten Wert bestimmen. (Archimedes mit seiner ähnlich durchgeführten "Exhaustionsmethode" gerade noch bei den Parabeln).

Das abstraktere und schwieriger aussehende Problem: Wie kann ich für alle xεDf den Flächeninhalt A(x) des "krummlinigen" Trapezes unter dem Schaubild von f über dem Intervall [a,x] berechnen? Wenn es schon für ein spezielles x=b schwierig genug ist, wie soll ich es dann gleich für alle x berechnen können? Der Mathematiker denkt anders. Er fragt sich: Was kann ich über die Funktion x->A(x) aussagen? Jetzt kommt die Überraschung: x->A(x) ist eine Stammfunktion von x->f(x). Nach Definition ist A Stammfunktion von f, wenn A'=f ist.

A = A(b) = F(b) - F(a)

Einfach genial!

Dass A Stammfunktion von f ist, ist leicht plausibel zu machen: Du musst dich nur an die Definition der Ableitung erinnern: f(x+h)-f(x) Def.: f'(x) = lim ——————————— (Unten wird dies auf A angewendet!) h->0 h Behauptung: A ist Stammfunktion von f, d.h. A'(x) =f(x) Beweisidee: Für das schraffierte "Rechteck" gilt: A(x+h) - A(x) = f(x)·h. Das Gleichheitszeichen gilt eigentlich erst, wenn wir den Übergang h -> 0 machen. Die Mathematiker arbeiten hier deshalb mit Ungleichungen. Um die Idee plausibel zu machen, genügt zu wissen: Je kleiner h ist, um so kleiner ist der Fehler. A(x+h)-A(x) f(x)·h Somit folgt: A'(x) = lim ——————————— = lim —————— = f(x) h->0 h h->0 h q.e.d.

Es gilt:


                      A(x+h) - A(x)
   inf{f(t)|x<t<x+h} ≤ ————————————— ≤ sup{f(t)|x<t<x+h}.
                              h


Unter der Vorraussetzung, dass lim inf{f(t)|x<t<x+h} = f(x) und lim sup{f(t)|x<t<x+h} = f(x),
                               h->0                                 h->0


ist also A'(x) = f(x) (Dies ist zum Beispiel für stetige Funktionen erfüllt).

Eine monton steigende nach oben beschränkte Folge (a ) besitzt einen Grenzwert: a = lim  a .
                                                    n                                     n
                                                                                    n->∞
oder:
   



Jede Intervallschachtelung (a ,b ) besitzt ein Zentrum Z: Zε[a ,b ] für alle nεN.
                             n  n                             n  n


Zum Beispiel existiert in R:

  -            2                    m              m  n
\/2 = sup{xεQ|x < 2}  und lg7 = sup{- |m,nεN und 10 <7 }
                                    n

Für jede "Zerlegung"  a=x < x < x ... < x = b des Intervalls berechnet man die Untersumme von f zu
                         0   1   2       n


     U = y·(x - x ) + y ·(x - x ) + ... y ·(x - x   ), wobei y = inf{f(x)|x   < x < x }
          1  1   0     1   2   1         n   n   n-1          i            i-1       i


und die Obersumme von f zu


     O = Y·(x - x ) + Y ·(x - x ) + ... Y ·(x - x   ), wobei Y = sup{f(x)|x   < x < x }.
          1  1   0     1   2   1         n   n   n-1          i            i-1       i

• Dieses Integral existiert zum Beispiel, wenn
• f auf [a,b] stetig ist,
• f auf [a,b] nur endlich viele Unstetigkeitsstellen hat und beschränkt ist und
• f auf [a,b] monoton ist.

Umkehrfunktionen