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Die Homepage von Joachim Mohr
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Häufig gestellte Fragen und
Antworten zur Mathematik
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Alle Lektionen und Texte der Delphi-Ecke sind in der gepackten Zip-Datei Delphi-Ecke
(ohne Urlaubsbilder) (Stand: Mai 2009 mit ca. 3 MB) enthalten und können lokal
auf den Computer heruntergeladen werden.
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Häufig auftretende Fehler
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Kurzfassung.
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Potenzieren geht vor Punkt- und Strichrechnung, Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
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Durch Differenzen und durch Summen
kürzen nur die D...
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Bei Wurzeln die Noten purzeln.
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Die Logarithmen und Potenzen sich wie Ebbe
und Flut ergänzen
Beispiel zum richtigen Logarithmieren
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Ableitungen von 2x etc.
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Oberstufe I
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Frage zur Zwei-Punkteform
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Oberstufe II Analysis
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Symmetrie bei Schaubildern I
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Symmetrie bei Schaubildern II
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Was bedeutet stetige
Ergänzung?
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Integral: Einfach genial
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Was ist der Unterschied zwischen
stetigem Wachstum und diskretem Wachstum?
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Oberstufe II Geometrie
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Zur Vektorrechnung
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Ich soll einen Vektor durch andere
darstellen. Wie mache ich das?
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Wer kann mir erklären was
ich unter linearer (Un-)Abhängigkeit von
Vektoren zu verstehen habe?
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Schwerpunktsatz
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Skalarprodukt
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Windschiefe Geraden
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Flächeninhalt eines Dreiecks
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Koordinaten des dritten Dreieckspunktes
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Wann liegen drei Punkte auf einer Geraden?
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Wann schneiden sich drei Geraden in einem Punkt?
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Wie berechnet man den Umkreismittelpunkt eines Dreiecks?
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Wie gibt man einen Kreisbogen durch drei Punkte an?
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Oberstufe Grundlagen
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Was bedeutet
Koeffizientenvergleich (5 Beispiele aus der Vektorrechnung
und der Analysis)
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Oberstufe III Analysis
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Nach wie vielen Jahren ist ein Darlehen getilgt?
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Zur Kettenregel
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Was ist die Ableitung von
f(x)=2x, g(x)=xx, h(x)=21/x und i(x)=x1/x?
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Umkehrfunktion
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Höhere Mathematik im Reellen
- Warum ist arctan(tan(φ)) = φ
für manche Werte von φ falsch?
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Wie löse ich die Gleichung
x·ex=a nach x auf?
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Wann hat die Gleichung
xy = y x eine weitere Lösung
außer x=y?
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Mein Computer "sieht nicht", dass 1.333...33 der Bruch 4/3 ist.
Wie kann ich ihm das beibringen?
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Affine Räume
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Neu:
Affine Räume, Affinitäten, Ähnlichkeitsabbildungen und Kongruenzabbildungen
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Komplexe Zahlen
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Was ist hier falsch? -1 = sqrt(-1)·sqrt(-1)
= sqrt((-1)·(-1)) = sqrt(1) = 1
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Wie löse ich die Gleichung x2=a+b·i?
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Numerik
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Warum berechnet Excel und mein
Taschenrechner 9x4-y4+2y2
falsch?
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Warum berechnet mein Computer 0,1 + 0,9 falsch?
- Neu:
Wie berechnet man die Ausgleichsgerade durch viele Punkte
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Allgemein
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Was ist ein
Kettenbruch?
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Die Heron'sche Formel zur
Dreiecksfläche
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Der Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
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Der allgemeine Satz vom arithmetischen und geometrischen Mittel
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Wie berechne ich die
Lösung einer Gleichung 3. oder 4. Grades zum
Beispiel x3 - 2x + 4 = 0
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Berechnung des
Flächeninhaltes eine Vierecks
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Warum ist tan(15°)=2 - sqrt(3)?
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Kann man cos(arctan(x)/2) und sin(arctan(x)/2) vereinfachen?
Siehe auch Inhalt Mathematik
und Stichwortverzeichnis.
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The trick in teaching mathematics is that I do the easy
part and you do the hard part.
... eine treffliche Bemerkung von Hahn
Hiang-Shin in "Complex Numbers and Geometry"
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Frage: Was ist ein Parameter? Antwort: Ein
Parameter ist eine variable Konstante :-)
(Folklore)
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Potenzieren geht vor Punkt- und Strichrechnung
Richtig: -24 = -(24) = -16
Falsch: -24 ist nicht (-2)4 = 16
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Kürzen darf man nur Faktoren, d.h. wenn
Zähler und Nenner in ein Produkt zerlegt
wurden:
2ab 2b 2a + b 2 + b
I Richtig: ———— = —— (gekürzt mit a) Falsch: —————— ist nicht ————— !
3a 3 3a 3
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Das Distributivgesetz gilt nur, wenn in der
Klammer eine Summe steht.
Richtig: 2(a+b) = 2a + 2b Richtig: 2(ab) = 2ab Falsch: 2(ab) ist nicht 2a·2b
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Summen unter Wurzeln kann man im
Allgemeinen nicht vereinfachen:
—————— ——————
2 2 2 2
Richtig: \/a · b = a · b für a,b > 0 Falsch: \/a + b ist nicht a + b.
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Logarithmen von Summen kann man im
Allgemeinen nicht vereinfachen:
2 3 2 3
Richtig: lg (10 · 10 ) = 2 + 3 Falsch: lg(10 + 10 ) ist nicht 2 + 3
2 3 2 3
Oberstufe: Richtig ln (e ·e ) = 2 + 3 Falsch: ln (e + e ) ist nicht 2 + 3
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Ableitung von Exponentialfunktionen:
Die Ableitung von f(x) = 2x ist nicht x·2x-1
sondern f'(x) = ln2·2x.
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Bekannt ist die Klammerersparnisregel "Punkt- vor "Strichrechnung":
Beispiel: 2·3 + 4·7 = (2·3) + (4·7) = 6 + 28 = 34
Entsprechend gilt die Klammerersparnisregel: "Potenzieren vor Punkt- und Strichrechnung".
Klar ist: 1 - 3·24 = 1 - 3·(24) = 1 - 3·16 = - 47
Manchmal vergißt man diese Regel jedoch bei Beispielen wie diesen:
-24 = - (24) = - 16 und nicht gleich (-2)4 = + 16
(Man verzeihe mir den Reim. Er stammt nicht
von mir. Unten wird gezeigt, wie man gescheit durch
Summen kürzt.)
2a + b 2 + b 2a + b 2 + b:a
—————— ist nicht ————— sondern —————— = ——————— (keine Vereinfachung!)
3a 3 3a 3
Kürzen heißt: Zähler und Nenner durch dieselbe
Zahl dividieren. Der Wert ändert sich dabei nicht.
Beispiel:
2
35 5 2a 2a
—— = - (gekürzt mit 7) ——— = —— (gekürzt mit a)
49 7 3a 3
Steht im Zähler eine Summe zum Beispiel ac + bc, dann
muss bei Division durch eine Zahl jeder Summand durch diese Zahl
dividiert werden.
(ac + bc): c = (ac):c + (bc):c = a + b. Dasselbe in
Bruchschreibweise:
ac + bc (a+b)c a + b
——————— = —————— = ————— (gekürzt mit c) = a + b
c c 1
ac + bc a + b
Also ist zum Beispiel ——————— = ————— (gekürzt mit c).
5c 5
ac + bc (a + b)c a + b
Ausführlich: ——————— = ———————— = ————— (gekürzt mit c)
5c 5c 5
Weitere Beispiele:
2 2
2a + a 2 + a 2a + a a(2+a) 2 + a
—————— = —————. Ausführlich: ——————— = —————— = ——————
5a 5 5a 5a 5
b b
a(2 + -) 2 + -
2a + b a a
—————— = ———————— = ————— keine Vereinfachung! (Siehe Eingangsbeispiel.)
3a 3a 3
21a + 14b 3a + 2b 21a + 14b 7(3a+2b) 3a + 2b
————————— = ———————. Ausführlich ————————— = ———————— = ———————
7x - 35 x - 5 7x - 35 7(x-5) x - 5
——————
2 2
\/a + b ist nicht a + b. Richtig ist:
————— ————————————
2 2 2 2
\/a ·b = a·b oder \/a + 2ab + b = a + b (a,b ≥ 0)
- 2
Denn \/a = x bedeutet x = a (a, x ≥ 0).
Das heißt: Was rechts der Wurzel steht, muss
quadriert das sein, was unter der Wurzel steht. Hier:
—————
2 2 2 2 2
\/a ·b = a·b, da (a·b) = a ·b und
————————————
2 2 2 2 2
\/a + 2ab + b = a + b, da (a + b) = a + 2ab + b .
——————
2 2
Deshalb kann man \/a + b nicht vereinfachen. Zum Beispiel ist:
———————
2 2 ——
\/3 + 4 = \/25 = 5 und nicht 3 + 4 = 7.
Aufgabe: Löse 102x + 10x =
110
Häufig begegnet man folgendem
fundamentalen Fehler:
"Wenn man auf beiden Seiten den Logarithmus nimmt, erhält
man:
2x x
lg10 + lg10 = lg110 (falsch!!! Siehe die Regeln unten im Kasten!!!)
1
also 2x + x = lg 110 und somit x = -lg110 = 0,6805"
3
x
Man löst vielmehr die Gleichung durch die Substitution v = 10 .
2x x 2
Dann wird aus 10 + 10 - 110 = 0 die quadratische Gleichung v + v - 110 = 0
x x
mit den Lösungen v = 10 = 10 und v = 10 = -11
1 2
x x
Aus 10 = 10 folgt x = 1. Die Gleichung 10 = -11 hat keine Lösung.
2x x
Somit ist x = 1 Lösung der Gleichung 10 + 10 = 110.
2 1
Probe: 10 + 10 = 110
Ableitung von Exponentialfunktionen (Oberstufe): Siehe Kettenregel und Exponentialfunktion
Lösungen der 5.Übung
Mittelstufe (zu Potenzen)
Frage: Was ist (-3)2 und
-32?
Antwort: Es gilt die Klammerersparnisregel: Zuerst
Potenzieren, dann Punktrechung (Multiplizieren und Dividieren)
und ganz zum Schluss Strichrechnung (Addieren und
Subtrahieren). Klammerausdrücke werden jedoch als erstes
ausgewertet.
(-3)2 bedeutet: Multipliziere (-3) mit sich selbst
(2 mal).
Also (-3)2 = (-3)·(-3) = 9
-32 bedeutet: Potenziere zuerst 3 mit 2 und nimm
davon den negativen Wert.
Also -32 = - (32) ("zuerst Potenzieren")
= - 9.
Oberstufe
log(u+v) kann nicht zu logu + logv vereinfacht werden.
Es wird häufig verwechselt mit log(u·v) = logu +
logv
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Wichtige Regeln beim Logarithmieren und Potenzieren
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m+n m n
log(u·v) = log u + log v. Zum Vergleich: a = a ·a .
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m
u m-n a
log - = log u - log v. Zum Vergleich: a = ———.
v m
a
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z m·n m n
log u = z·log u. Zum Vergleich a = (a ) .
Insbesondere:
x
lg 10 = x, da lg 10 = 1 (lg = Logarithmus zur Basis 10)
x
ln e = x, da ln e = 1 (ln = natürlicher Logarithmus [Basis: e = 2,718...])
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lg a ln a
log a = ———— = ———— ( log a = Logarithmus zur Basis b)
b lg b ln b b
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Denn Logarithmen sind Exponenten: Was rechts des
Logarithmus steht, ist eine Potenz.
Die Logarithmengesetze spiegeln deshalb die Potenzgesetze
in die andere Richtung:
Aus "·" wird "+", aus ":" wird "-" und aus "hoch"
wird "·".
Beispiel mit 10-er Potenzen (lg = Logarithmus zur Basis 10)
u
lg 1000 = u bedeutet: 10 = 1000, also ist u = lg 1000 = 3.
v
lg 10000 = v bedeutet: 10 = 10000, also ist v = lg 10000 = 4.
x u v u+v
lg (1000·10000) = x bedeutet 10 = 1000·10000 = 10 ·10 = 10 => x = u + v.
Also: lg (1000·10000) = x = u + v = lg 1000 + lg 10000 = 3 + 4 = 7.
u
1000 y 1000 10 u - v
Ähnlich lg ————— = y bedeutet 10 = ————— = ———— = 10 => y = u - v.
10000 10000 v
10
1000
Also: lg ————— = y = u - v = lg 1000 - lg 10000 = 3 - 4 = -1
10000
25 z 25 u 25 25·u
Und: lg 1000 = z bedeutet 10 = 1000 = (10 ) = 10 => z = 25·u.
25 25 3 25 75
Also: lg 1000 = 25·u = 25·lg1000 = 25·3 = 75. Probe: 1000 = (10 ) = 10 .
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Wenn Du die Herleitung (Kasten über diesem)
verinnerlicht hast, wirst Du nicht mehr in Versuchung
kommen lg(u+v) mit lgu + lgv gleichzusetzen: lg(u + v)
lässt sich so nicht umformen!.
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Hat man zum Beispiel eine Gleichung
der Form:
1000·10x = 700
und möchte diese nach x auflösen, so sieht man
häufig folgende Umformung (lg = log zur Basis 10):
lg1000·lg10x = lg
700 (falsch!!).
Richtig (aber nicht die beste Umformung) ist:
lg1000 +lg10x = lg 700 => 3 + x = lg 700
=> x = lg700 - 3
Folgende Umformung ist besser:
x x 7 7
1000·10 = 700 => 10 = —— => x = lg—— = lg 7 - lg 10 = lg 7 - 1
10 10
Man beachte: lg 700 = lg(7·100) = lg7 + lg100 = lg7 + 2.
Die Ergebnisse sind also gleich: lg700 - 3 = lg 7 - 1
Beispiel für das Rechnen mit Logarithmen:
1. Lösung:
-kt
Ansatz: B(t) = A·e (B Bestand an C14, t: Jahre)
-5730k 1 -5730k 1
Aus B(0) = A und B(5730) = A·e = -·A folgt: e = -
2 2
1 ln2
=> -5730k = ln - = - ln2 => k = ———— ≈ 0,000121.
2 5730
Damit haben wir also k berechnet. Das Alter wird folgendermaßen bestimmt:
-kt -kt
B(t) = Ae = 1,4% von B(0) = 0,014·A => e = 0,014 => -kt = ln 0,014
ln0,014
Also t = - ————————·5730 = 35 288 [Jahre].
ln2
|
2. Lösung: (lb = Logarithmus zur Basis 2)
-kt
Ansatz: B(t) = A·2 (B Bestand an C14, t: Jahre)
-5730k 1 -5730k 1
Aus B(0) = A und B(5730) = A·2 = -·A folgt: 2 = -
2 2
1 1
=> -5730k = lb - = - 1 => k = ———— ≈ 0,000175.
2 5730
Damit haben wir also k berechnet.
t
- ————
5730 -1 A
Somit ist B(t) = A·2 . Man sieht sofort B(5730) = A·2 = -.
2
Das Alter wird folgendermaßen bestimmt:
-kt -kt
B(t) = A2 = 1,4% von B(0) = 0,014·A => 2 = 0,014 => -kt = lb 0,014
lg0,014
Also t = - lb 0,014·5730 = - ———————·5730 = 35 288 [Jahre]
lg2
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lgx lnx lg0,014 ln0,014
Merke! logx = ——— = ——— Hier: lb0,014 = log 0,014 = ——————— = ———————
b lgb lgb 2 lg2 ln2
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Ergebnis: Das Fossil ist rund 35 Tausend Jahre
alt.
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Frage zur
Zwei-Punkte-Form:
Warum berechnet man die Steigung einmal mit zwei bekannten
Punkten, das andere Mal mit nur einem Punkt und einem
allgemeinen Punkt P(x|y)?
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3 - 2 1
Beispiel: P (2|2) P (4|3) m = ————— = -
1 2 4 - 2 2
y - 2
P (2|2) P(x|y) m = —————
1 x - 2
Die Steigungen sind gleich:
y - 2 1 1
————— = - => y - 2 = -(x - 2)
x - 2 2 2
1
=> y = -x + 1
2
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Antwort:
Du musst dich dabei fragen: Was bedeutet y = mx + c?
D.h. Wie kommt man von einer algebraischen Gleichung zur Geraden, einem geometrischen
Objekt?
Dieses Problem löste René Descartes durch folgende Überlegung:
|
P(x|y) ist Punk der Geraden, wenn seine Koordinaten die
Gleichung y = mx + c erfüllen.
|
1
Etwa P(7|4,5) liegt auf der Geraden mit der Gleichung y = -x + 1
2
1
da "4,5 = -·7 + 1" wahr ist.
2
Und so ist auch die Zweipunkteform zu verstehen:
Der Punkt P(x|y) liegt auf der Geraden durch die zwei Punkte P (x |y )
1 1 1
y - y y - y
1 2 1
und P (x |y ), wenn x und y die Gleichung —————— = —————— erfüllt (x ≠ x , x ≠ x ).
2 2 2 x - x x - x 1 1 2
1 2 1
Im Beispiel: Der Punkt P(x|y) liegt auf der Geraden durch die zwei Punkte P (2|2)
1
y - 2 3 - 2
und P (4|3), wenn x und y die Gleichung —————— = ————— erfüllen (x ≠ 2).
2 x - 2 4 - 2
Die Bedingung x ≠ x kann man noch vermeiden:
1
Der Punkt P(x|y) liegt genau dann auf der Geraden (P (x |y )P (x |y )), wenn seine
1 1 1 2 2 2
y - y
2 1
Koordinaten die Gleichung y - y = ———————·(x - x ) erfüllen. (x ≠ x )
1 x - x 1 2 1
2 1
Sonderfall: x = x . (Dann muss bei verschiedenen Punkten y ≠ y sein.)
1 2 2 1
Die Gerade durch P und P hat dann die Gleichung x = x , d.h.
1 2 1
P(x|y) liegt genau dann auf der Geraden, wenn x = x (und y beliebig) ist.
1
Symmetrische Schaubilder von Funktionen
I Symmetrie zur y-Achse und
II Symmetrie zum Ursprung
Wir beschäftigen uns hier mit zwei Fragestellungen,
die dasselbe Thema unter verschiedenen Gesichtspunkten
betrachtet:
- Wie erkenne ich am Funktionsterm, ob das Schaubild
symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung ist?
- Wenn ich weiß, dass das Schaubild symmetrisch ist,
was kann ich dann über die Funktion sagen?
Betrachten wir zunächst einige Schaubilder:
Wir sehen
symmetrisch zur y-Achse symmetrisch zum Ursprung
——————————————————————— ————————————————————————
1 4 2 1 3
f(x) = -x - 2x + 1 f(x) = -x - 3x
4 3
2
x 2x
f(x) = —————— f(x) = ——————
3 3
x + x x + x
(Dass die beiden Terme kürzbar sind, ist vorerst unerheblich)
f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) und f(x) = tan(x)
Wir suchen nun ein Kriterium, bei dem wir dem Term schon
ansehen, ob das Schaubild symmetrisch zum Ursprung bzw. zur y-Achse
ist.
|
Das Schaubild von f ist symmetrisch zur y-Achse
<=>
Für alle x ε D : f(-x) = f(x)
f
|
Beispiele:
1 4 2 1 4 2 1 4 2
a) f(x) = -x - 2x + 1, x ε R. Es folgt: f(-x) = -(-x) - 2(-x) + 1 = -x - 2x + 1
4 4 4
2 2 4 4 6 6
da stets gilt (-x) = x , (-x) = x , (-x) = x ... (gerade Hochzahlen)
Somit ist f(-x) = f(x) für alle x ε R und das Schaubild symmetrisch zur y-Achse.
x -x x
b) f(x) = ————— x ε R\{0}. Es folgt: f(-x) = —————— = ————— = f(x)
3 3 3
x +x -x - x x + x
(Zähler und Nenner ändern beim Übergang von x zu -x das Vorzeichen.)
Also ist das Schaubild symmetrisch zur y-Achse.
1
Bemerkung: Die Funktion ist identisch mit g(x) = —————, x ε R,
2
x + 1
bis auf den Umstand dass g einen größeren Definitionsbereich hat.
(Aus psychologischen Gründen wurde ein Term mit ungeraden Hochzahlen gewählt.)
c) Umgekehrt: Weiß man, dass das Schaubild der Kosinusfunktion symmetrisch
zur y-Achse ist, kann man sofort schließen:
cos(-x) = cos(x) für alle x ε R
|
Das Schaubild von f ist symmetrisch zum Ursprung
<=>
Für alle x ε D : f(-x) = - f(x)
f
|
Beispiele:
1 3 1 3
a) f(x) = -x - 3x, x ε R. Es folgt: f(-x) = ——x + 3x = - f(-x)
3 3
3 3 5 5
da stets gilt (-x) = - x , (-x) = - x ... (ungerade Hochzahlen)
Also ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung.
2 2 2
2x 2x 2x
b) f(x) = ——————, x ε R\{0}. Es folgt: f(-x) = ——————— = - ————— = - f(x)
3 3 3
x + x - x - x x + x
(Der Nenner ändert sein Vorzeichen, der Zähler nicht.)
Also ist das Schaubild symmetrisch zum Ursprung.
2x
Bemerkung: Die Funktion ist identisch mit g(x) = —————
2
x + 1
bis auf den Umstand dass g einen größeren Definitionsbereich hat.
(Aus psychologischen Gründen wurde ein Term mit höheren Hochzahlen gewählt.)
c) Umgekehrt: Weiß man, dass das Schaubild der Sinus- und Tangensfunktion symmetrisch
zum Ursprung ist, kann man sofort schließen:
sin(-x) = - sin(x) und tan(-x) = -tan(x) für alle x ε R.
Symmetrische Schaubilder von Funktionen
III Symmetrie zu einer Parallelen der y-Achse und
IV Symmetrie zu einem Punkt
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Das Schaubild von f ist symmetrisch zur Geraden x= a
<=>
Für alle x ε D : f(a - h) = f(a + h)
f
|
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Beispiel:
1
f(x) = ——————
x(x-4)
symmetrisch zu
x = 2, denn
2
f(2+h)=——————————
(h+2)(h-2)
2
f(2-h)=———————————
(2-h)(-h-2)
= f(2+h)
|
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Das Schaubild von f ist
symmetrisch zur P(a|b)
<=>
Für alle x ε D :
f
b - f(a - h) = f(a + h) - b
oder (äquivalent)
f(a-h) + f(a+h)
——————————————— = b
2
(Mittelwert)
|
Beispiel:
x - 1
f(x) = ————— x ε R\{2} (Zeichnung siehe oben)
x - 2
Das Schaubild ist symmetrisch zum Punkt P(2|1), denn
1 - h 1 + h h - 1 1 + h
f(2-h) + f(2+h) = ————— + ————— = ————— + ————— = 2
-h h h h
f(2-h) + f(2+h)
Somit ist ——————————————— = 1 (hier a = 2 und b = 1)
2
1 - h h - 1
Bemerkung zu ————— = ————— : Dies ist ein Spezialfall der Regel:
-h h
a - b b - a 18 - 12 6 -6 12 - 18
————— = —————. Beispiel ——————— = —— = —— = ——————— Merke!
c - d d - c 2 - 7 -5 5 2 - 7
a - b
Nebenbei erwähnt: Ähnlich: ————— = - 1 Merke!
b - a
3 2
Aufgabe: Zeige, das Schaubild einer ganzrationalen Funktion f mit f(x) = ax + bx + cx + d
3
b 2b bc
ist punktsymmetrisch zu seinem Wendepunkt W( - —— | ———— - —— + d).
3a 2 3a
27a
1 b
Lösung: Bevor wir -(f(w + h) + f(x - h)) mit x = - —— berechnen, vereinfachen wir die
2 w w w 3a
einzelnen Potenzen nach den Formeln (a + b) + (a - b) = 2a
2 2 2 2
(a + b) + (a - b) = 2(a + b )
3 3 3 2
und (a + b) + (a - b) = 2(a + 3ab )
b
Somit erhalten wir mit x = - ——:
w 3a
3
a 3 a 3 3 2 b 2
-(x + h) + -(x - h) = ax + 3ax h = - ———— - bh
2 w 2 w w w 2
27a
3
b 2 b 2 2 b 2
-(x + h) + -(x - h) = bw + bh = ——— + bh
2 w 2 w x 2
9a
c c bc
-(x + h) + -(x - h) = cx = - ——
2 w 2 w w 3a
3
1 2b bc
Somit: -(f(x + h) + f(x - h)) = ———— - —— + d = y-Wert des Wendepunktes
2 w w 2 3a
27a
Das bedeutet:
Du hast eine stetige Funktion f, die auf dem Intervall (a,b)\{x } definiert ist.
0
Existiert nun (von recht und von links) lim f(x) = y , so ist folgende Funktion g stetig:
x->x 0
0
g(x) = f(x) für xε(a,b)\{x } und g(x ) = y .
0 0 0
Man sagt dann: f wurde bei x stetig ergänzt.
0
Die beiden stetigen Funktion f und g sind gleich ... bis auf den kleinen Unterschied, dass
g einen größeren Definitionsbereich hat und bei x auch noch stetig ist, während f bei
0
x eine Lücke hat. Im folgenden nenne ich die neue Funktion g auch f.
0
sin(x)
Klassisches Beispiel: f(x) = —————— D = R\{0}
x f
sin(x)
Diese Funktion hat bei x = 0 eine Lücke mit lim f(x) = lim —————— = 1 (bekannter Grenzwert!)
0 x->0 x->0 x
Erweitere ich den Definitionsbereich mit f(0) = 1, dann ist f eine auf R stetige
Funktion, denn lim f(x) = f(0) = 1.
x->0
1
Ein beliebtes Gegenbeispiel ist f(x) = sin - (x≠0).
x
Diese Funktion ist zwar beschränkt (|f(x)|≤1) aber lim f(x) existiert nicht.
x->0
f kann also nicht mit passendem f(0) stetig fortgesetzt werden.
Wie ich auch f(0) definieren würde, f(0)=0 oder f(0)=1 oder sonst wie, f wird bei
Fortsetzung unstetig bei x = 0.
0
1
Anders ist es bei der Funktion f(x) = x·sin- (x≠0).
x
Da lim |f(x)| ≤ lim |x| = 0, ist ist lim f(x) = 0
x->0 x->0 x->0
und mit f(0) = 0 haben wir eine stetige Ergänzung von f.
Weitere Beispiele: Siehe Schaubilder
x 1
f(x) = ———— nicht definiert bei x = 0, stetige Ergänzung f(x) = ————— , xεR
3 0 2
x +x x + x
2
2x 2x
f(x) = ————— nicht definiert bei x = 0, stetige Ergänzung f(x) = —————, xεR.
3 0 2
x + x x + 1
Hier genügte einfach, den Bruchterm zu kürzen (Zähler und Nenner geteilt durch x).
1
Gegenbeispiel: f(x) = -, xεR kann bei x = 0 nicht stetig ergänzt werden, da
x 0
1
lim - nicht existiert. Siehe Schaubild.
x->0 x
|
Lösung:
-> ——> ——> ——> ——>
x = SM = SA + AB + BM nach Definition der
Addition von Vektoren.
Zwischenrechnung:
——> 1——> 1 -> ->
BM = -BD = -(-a + c ).
2 2
——> 2——>
SA = - -AM' für M'=Mitte von AC.
3
Der Schwerpunkt teilt ja die Schwerelinie im
Verhältnis AS:SM' = 2:1. (AM' hat also 3 Teile.)
——> -> 1——> -> 1 -> -> 1 -> ->
AM' = a + -BC = a + -(-a + b ) = -(a + b ).
2 2 2
Somit ergibt sich:
-> 2 1 -> -> -> 1 -> ->
x = - -·-(a + b ) + a + -(-a + c )
3 2 2
1-> 1-> 1->
= -a - -b + -c .
6 3 2
—————————————
|
Wer kann mir erklären: Was versteht man unter
linearer (Un-)Abhängigkeit von Vektoren?
Antwort:
|
Zuerst einmal: Was heißt LKB (Linearkombination)?
-> -> -> -> ->
Definition: x ist LKB von a , a , a , ..., a , wenn es
1 2 3 n
reelle Zahlen k , k , k , ..., k so gibt, dass
1 2 3 n
-> -> -> -> ->
x = k a + k a + k a + ... k a ist.
1 1 2 2 3 3 n n
-> -> -> ->
Man sagt in diesem Fall auch: x ist linear abhängig von a , a ..., a .
1 2 n
-> -> -> -> -> ->
Hier im Beispiel ist x LKB von a und a , da x = 2a + 3a ist.
1 2 1 2
0 1 0
Gegenbeispiel: ( 0 ) kann nicht als LKB von ( 0 ) und ( 1 )
1 0 0
0 1 0
dargestellt werden: Für keine k und k ist ( 0 ) = k ( 0 ) + k ( 1 )!
1 2 1 1 0 2 0
|
-> -> -> ->
Definition: Die Vektoren a , a , a , ... ,a sind linear abhängig, wenn sich
1 2 3 n
einer dieser Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt.
-> -> -> -> ->
z.B. a = k a + k a + k a + ... + k a für passende Zahlen k , k , ... ,k ε R.
1 2 2 3 3 4 4 n n 2 3 n
Im Normalfall kann man dann jeden Vektor als Linearkombination der übrigen darstellen:
-> 1 -> -> -> ->
z.B. a = ——(a - k a - k a - ... - k a ). Aber nur im Normalfall. Hier: k ≠ 0.
3 k 1 2 2 3 3 n n 3
3
Um nachzuweisen, ob eine Menge von Vektoren linear abhängig ist, müßte ich also prüfen,
ob der erste Vektor LKB der restlichen ist. Falls nicht: Ist der zweite Vektor LKB der
restlichen u.s.w. Das ist zu umständlich! siehe hier Lösung zur 2. Aufgabe.
Deshalb definiert man gern das Gegenteil, dessen Negation natürlich äquivalent zur gegebenen Definition ist.
-> -> ->
Definition: a , a , ... ,a sind linear unabhängig, wenn folgende Implikation gilt:
1 2 n
-> -> -> ->
k a + k a + ... + k a = 0 => k = 0, k = 0, ... ,k = 0 (Betonung auf "=>").
1 1 2 2 n n 1 2 n
Man sagt auch:
-> -> ->
Die Vektorgleichung k a + k a + ... + k a = 0 hat nur die triviale Lösung k = 0, k = 0, ... ,k = 0.
1 1 2 2 n n 1 2 n
Dann kann man nämlich keinen dieser Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen.
-> 1 -> 2 -> ->
Beispiel: a) a = ( 2 ) und a = ( 4 ) sind linear abhängig (parallel), da a = 2a .
1 3 2 6 2 1
-> 1 -> 1 -> 7
b) a = ( 2 ), a = ( 0 ) und a = ( 2 ) sind linear abhängig.
1 3 2 0 3 3
-> -> -> -> -> ->
Beweis: a ist Linearkombination von a und a , nämlich a = a + 6a .
3 1 2 3 1 2
Man kann es auch folgendermaßen beweisen:
-> -> ->
k a + k a + k a = 0 hat eine nicht triviale Lösung, nämlich k = -1, k = -6, k = 1.
1 1 2 2 3 3 1 2 3
(Das ist nicht die einzige Lösung: eine weitere wäre zum Beispiel k = 1, k = 6, k = -1
1 2 3
-> -> ->
Hinweis: Die Vektorgleichung k a + k a + k a = 0 führt auf das LSG:
1 1 2 2 3 3
| k + k + 7k = 0 | | k + k + 7k = 0 | | k beliebig |
| 1 2 3 | | 1 2 3 | | 3 |
| | | | | |
| 2k + 2k = 0 | äquivalent zu | 2k + 2k = 0 | mit der Lösung | k = - k |
| 1 3 | | 1 3 | | 1 3 |
| | | | | |
| 3k + 3k = 0 | | 0 = 0 | | k = - 6k |
Aber das ist eine andere Geschichte (Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems).
Einführendes Beispiel
Fangen wir vor der Theorie mit einem klassischen Beispiel
an:
Beispiel 1
Es soll eine Stammfunktion von
16 1
f(x)= —————— = ——————————
2 (x-2)(x+2)
x - 4
bestimmt werden. Dies macht man mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
16 A B A(x + 2) + B(x - 2)
Ansatz: —————— = ————— + —————. Bringt man die rechte Seite auf den Hauptnenner ———————————————————
2 x - 2 x + 2 2
x - 4 x - 4
und vergleicht man die Zähler
so erhält man: 16 = A(x + 2) + B(x - 2), also 0·x + 16 = (A + B)x + 2A - 2B.
Jetzt macht man den Koeffizientenvergleich:
Man vergleicht die Vorzahlen (Koeffizienten) vor x und den Rest und erhält das lineare Gleichungssystem
0 = A + B
( )
16 = 2A - 2B
mit der Lösung A = 4 und B = -4.
16 4 4 |x - 2|
Somit ist f(x) = ————— = ————— - ————— und eine Stammfunktion F(x) = 4 ln|x - 2| - 4 ln|x + 2| = 4ln|—————| .
2 x - 2 x + 2 |x + 2|
x - 4
Warum kann man hier aus einer Gleichung 16 = (A + B)x
+ 2A - 2B zwei Gleichungen
0 = A + B
( )
16 = 2A - 2B
erhalten? Das soll jetzt tiefer untersucht werden.
Direkte Antwort dazu:
16 = (A + B)x + 2A - 2B soll ja für alle x (aus dem
Definitionsbereich) gelten. Dann kann ich schließen:
Da die Gleichung für x = 0 erfüllt sein soll, folgt 16 = (A + B)·0 + 2A - 2B. Also 16 = 2A - 2B.
Da die Gleichung für x = 1 erfüllt sein soll, folgt 16 = (A + B)·1 + 16.
Vorausgreifend zur nun folgenden theoretischen
Begründung lautet die vertiefte Antwort dazu:
Die Funktionen
f : x ——> 1
0
f : x ——> x
1
2
f : x ——> x (wird hier nicht benötigt)
2
...
sind linear unabhängig. Deshalb folgt aus
a f (x) + a f (x) + a f (x) + ... = b f (x) + b f (x) + b f(x) + ...
0 0 1 1 2 2 0 0 1 1 2 2
a = b , a = b , a = b , ...
0 0 1 1 2 2
Hier kann man also bei 0·x + 16 = (A + B)x + 2A - 2B die "Koeffizienten"
a = 0 und b = A + B sowie a = 16 und b = 2A - 2B "vergleichen".
0 0 1 1
0 = A + B
Man erhält so das lineare Gleichungssystem ( ) mit der Lösung A = 4 und B = -4.
16 = 2A - 2B
Theorie
-> -> ->
Definition: a , a , ... ,a sind linear unabhängig, wenn folgende Implikation gilt:
1 2 n
-> -> -> ->
k a + k a + ... + k a = 0 => k = 0, k = 0, ... ,k = 0 (Betonung auf "=>").
1 1 2 2 n n 1 2 n
-> -> ->
(a , a , ... ,a Vektoren, k , k , ...,k ε R)
1 2 n 1 2 n
|
-> ->
Insbesondere sind zwei von Null verschieden Vektoren a und b linear unabhängig, wenn
-> -> -> ->
b kein Vielfaches von a ist, wenn also für kein kεR gilt: b = ka .
-> -> ->
(Denn sonst hätte die Gleichung k a + k b = 0 die nicht triviale Lösung k = k und k = -1.)
1 2 1 2
|
-> -> ->
Drei von Null verschieden Vektoren a , b und c sind linear unabhängig, wenn kein Vektor
dieser drei Vektoren Linearkombination der übrigen beiden ist.
|
-> -> ->
Satz: Sind die Vektoren a , a , ... ,a linear unabhängig und gilt
1 2 n
-> -> -> -> -> ->
a a + a a + ... + a a = b a + b a + ... + b a (*), so folgt daraus:
1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n
a = b , a = b , ... a = b ("Die Koeffizienten sind gleich!")
1 1 2 2 n n
Beweis: Durch Umformung von (*) erhält man
-> -> ->
(a - b )·a + (a - b )·a + ... + (a - b )·a = 0 und wegen der linearen Unabhängigkeit
1 1 2 2 n n n
die Behauptung.
|
Satz:Im Vektorraum der ganzrationalen Funktionen
sind für nεN die folgenden Funktionen
linear unabhängig:
f : x ——> 1
0
f : x ——> x
1
2
f : x ——> x
2
...
n
f : x ——> x
n
Beweis: Sei af (x) + a f (x) + a f (x) + a f (x) = 0 für alle xεR.
0 1 1 2 2 3 3
2 3 4 n
Sei also a + a x + a x + a x + a x + ... + a x = 0 (0)
0 1 2 3 4 n
Durch wiederholtes Ableiten erhält man die Beziehungen:
2 3 n-1
a + 2a x + 3a x + 4a x + ... + na x = 0 (1)
1 2 3 4 n
2 n-2
2a + 2·3a x + 3·4a x + ... (n-1)·na x = 0 (2)
2 3 4 n
....
n!a = 0 (n)
n
Die Gleichungen (0), (1), (2), ... (n) müssen für alle x erfüllt sein:
x=0 in (0) eingesetzt ergibt a = 0,
0
x=0 in (1) eingesetzt ergibt a = 0,
1
x=0 in (2) eingesetzt ergibt a = 0,
2
...
x=0 in (n) eingesetzt ergibt a = 0.
n
Somit ist die lineare Unabhängigkeit der Funktionen nachgewiesen.
Der Beweis mit vollständiger Induktion (ohne "...") ist
hier ganz geradlinig und sei dem Leser überlassen.
|
Ähnlich trickreich beweist man für weitere
Funktionenklassen die lineare Unabhängigkeit:
Satz:Im Vektorraum der Funktionen sind für
nεN die folgenden Funktionen linear
unabhängig:
f : x ——> 1
0
x
f : x ——> e
1
2x
f : x ——> e
2
...
nx
f : x ——> e
3
|
Satz:Im Vektorraum der Funktionen sind für
nεN die folgenden Funktionen linear
unabhängig:
f : x ——> sinx,
0
f : x ——> sin2x
1
f : x ——> sin3x
2
...
f : x ——> sin(nx)
3
|
Wir können auch Funktionen verschiedenster Art
kombinieren. Dass zum Beispiel die Funktionen u(x)= x,
v(x)= sinx und w(x) =
2x linear unabhängig sind, sagt
einem schon der gesunde Menschenverstand. Könnte man
sinx etwa als Linearkombination von x und 2x
darstellen, hätte man die Sinusfunktion gar nicht
als selbstständige Funktion eingeführt.
Und überhaupt: Kann eine periodische Funktion
Linearkombination nichtperiodischer Funktionen sein?
Und wenn Du mit diesen pauschalen Argumenten Deine
skeptischen Mitmenschen immer noch nicht überzeugt
hast, denn zeige, dass die Gleichung ax + bsinx +
c·2x = 0 (*) für alle
xεR nur für a = 0, b
= 0 und c = 0 erfüllt werden
kann. Wie man das macht? Ganz geradlinig!
π
Setzte in (*) x = 0, x = - und x = π . Dann erhältst Du das lineare Gleichungssystem:
2
c = 0
π π/2
a·- + b + c·2 = 0
2
π
a·π + c·2 = 0.
Dieses Gleichungssystem hat nur die triviale Lösung a = 0, b = 0 und c = 0.
|
Weitere Beispiele
Beispiel 2:
2
x - 2x + 1
Gesucht ist die Asymptote y = ax + b der Funktion f(x) = ——————————
2x-1
Lösung: a und b müssen also so bestimmt werden, dass
lim(f(x) - (ax + b) = 0
x->∞
Stellen wir die Differenz als einen Bruch dar, so erhalten wir:
2 2
x - 2x - 1 - (ax+b)(2x-1) (1 - 2a)x + (-2+a-2b)x - 1 + b
f(x) - (ax + b) = ————————————————————————— = ——————————————————————————————
2x - 1 2x - 1
2
Der Grenzwert wird Null, wenn die Koeffizienten von x und x Null werden,
d.h. wenn 1 - 2a = 0 und a - 2b - 2 = 0 wird.
1 3
Die Lösung des Gleichungssystems ist a = - und b = - -.
2 4
1 3
Die Gleichung des Asymptote ist also y = -x - -.
2 4
1 3 -7/4
Probe: lim (f(x) - (-x - -) = lim ———— = 0.
x->oo 2 4 x->oo 2x-1
Berechnung (Aufg. 1c) ist auch über
über Polynomdivision möglich.
Beispiel 3:
Beweis eines Satzes aus der Vektorrechnung mit Hilfe des Koeefizientenvergleichs:
Im Parallelogramm halbieren sich die Diagonalen
.
|
Voraussetzung:
-> ——> -> ——>
a = AB und b = AC sind linear unabhängig.
(Sonst würde das Viereck die Fläche 0 haben.)
Behauptung: M halbiert die Diagonalen.
——> ——> ——> ——>
Beweis: Sei AM = x AC und BM = y BD
——> ——> ——>
Dann gilt: AM = AB + BM
——> -> ——>
xAC = a + yBD
-> -> -> -> ->
x(a + b ) = a + y(-a + b )
-> -> -> ->
x a + x b = (1 - y)a + yb.
Koeffizentenvergleich ergibt:
x = 1 - y 1 1
( ). Daraus folgt: x = - und y = - .
x = y 2 2
|
Beispiel 4:
Als nächstes
Beispiel beweisen wir mit Hilfe des Koeffizientenvergleichs
den Schwerpunktsatz:
"Die Schwerelinien teilen sich im Verhältnis 2:1.
In der folgenden Zeichnung sei M die Mitte von BC und M die Mitte von AC.
a b
S sei der Schnittpunkt der Schwerelinien (Seitenhalbierenden) AM und BM .
a b
—— —— ——> ——> 2
Wenn AS:SM = 2:1 ist (AM also drei Teile), muss gezeigt werden dass AS = x·AM für x = -.
a a a 3
|
-> ——> -> ——>
Beweis: Die Vektoren a = AB und b =AC sind linear unabhängig.
——> ——> ——> ——> 2 2
Sei AS = xAM und BS = yBM . Zu zeigen ist: x = - und y = -.
a b 3 3
——> -> ->
Für den Beweis benötigen wir folgendes: BC = b - a.
——> 1——> 1-> 1-> ——> ——> ——> -> 1-> 1-> 1-> 1->
BM = -BC = -b - -a . AM = AB + BM = a + -b - -a = -a + -b .
a 2 2 2 a a 2 2 2 2
——> -> ——>
Jetzt können wir loslegen: AS = a + BS
——> -> ——>
xAM = a + yBM
a b
1-> 1-> -> -> 1->
x(-a + -b ) = a + y(-a + -b )
2 2 2
x-> x-> -> y->
-a + -b = (1-y)a + -b
2 2 2
x x y
Der Koeffizientenvergleich liefert - = 1-y und - = -.
2 2 2
2
Die Lösung dieses lin. Gleichungssystems ist x = y = - q.e.d.
3
|
Beispiel 5:
Im diesem Beispiel soll bewiesen werden, dass die Funktion F mit
t
36·e
F(t) = —————— für passendes kεR und GεR
t
1 + e
die Differentialgleichung (des logistischen Wachstums)
F'(t) = k·F(t)·[G - F(t)]
erfüllt.
Dazu differenzieren wir F(t) und setzten dies in die Differentialgleichung ein und formen um:
F'(t) = k·F(t) ·[G - F(t)]
t t t
36·e 36e 36e
————————— = k·————————·[G - ——————]
t 2 t t
(1 + e ) 1 + e 1 + e
t t t t
36·e 36ke G+Ge - 36e
————————— = ———————·[——————————]
t 2 t t
(1 + e ) 1 + e 1 + e
t t t
36·e 36·k·(G + (G-36)·e )·e
————————— = ———————————————————————
t 2 t 2
(1 + e ) (1 + e )
Diese Gleichung wird genau dann erfüllt, wenn
t
1 = k·G + k(G-36)·e (*)
für alle tεR erfüllt ist.
Da die Funktionen t ——> 1 und
t
t ——> e offensichtlich linear unabhängig sind, können wir den
Koeffizientenvergleich in Gleichung (*) durchführen.
1 = k·G 1
( ) mit der eindeutig bestimmten Lösung G = 36 und k = ——
0 = k·(G-36) 36
|
Antwort: Zunächst musst Du verstehen, wie zwei
Funktionen verkettet werden.
Das hört sich schlimmer an als es ist.
Im wesentliche ersetzt Du x in u(x) durch einen weiteren Term
v(x) und erhälst so eine neue Funktion f mit f(x) =
u(v(x)).
Beispiel:
2
u(x) = x v(x) = 3x + 4
2 2
=> f(x) = u(v(x)) = (v(x)) = (3x + 4)
Du kannst auch folgendermaßen rechnen:
2
f(x) = u(v(x)) = u(3x + 4) = (3x + 4) .
Wem das klar ist, der kann gleich zu den Übungen gehen.
Hier noch einige Bemerkungen zur Vertiefung des Verständnisses:
Ich erläutere die Verkettung zunächst ausführlich, zunächst ohne Verwendung von
Variablen. (Ob die Variable x oder t oder sonst wie heißt, ist logisch unerheblich.)
Die Funktionen v und u seien folgendermaßen definiert:
v: "Addiere zum 3-fachen 4!" und u: "quadriere!"
Damit sind folgende Zuordnungen definiert:
v u
1 ——> 7 1 ——> 1
2 ——> 10 2 ——> 4
3 ——> 13 3 ——> 9
4 ——> 16 4 ——> 13
2
x ——> 3x + 4 x ——> x
Die Vorschrift für die Verkettung der Funktionen lautet nun:
"Addiere zum 3-fachen 4 und quadriere das Ergebnis!"
Zuerst wird die Zuordnungsvorschrift für v befolgt, dann die für u.
v u
1 ——> 7 ——> 49
2 ——> 10 ——> 100
3 ——> 13 ——> 169
4 ——> 16 ——> 256
2
x ——> 3x + 4 ——> (3x + 4)
Das ergibt also die Zuordnung für f = uºv (Warum nicht "vºu"? siehe unten).
f
1 ————————————————> 49
2 ————————————————> 100
3 ————————————————> 169
4 ————————————————> 256
2
x ————————————————> (3x + 4)
Man sagt: u wurde mit v verkettet und schreibt dafür
f = uºv ("u Kringel v", gesprochen "u nach v")
f wird also definiert durch f(x) = u(v(x)) für alle x ε D .
v
Es ist also f(x) = (uºv)(x) = u(v(x))
Daher auch die paradoxe Reihenfolge von u und v in f = uºv ("u nach v").
Bei
den folgenden Übungen wird die Kettenregel eingeübt:
Kettenregel.
f(x) = u(v(x)) => f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
"äußere Ableitung mal innere Ableitung".
1. Übung zur Kettenregel:
1. Gegeben u(x) und v(x). Schreibe auf: u'(x) und v'(x), sowie
f(x) = u(v(x)) und f'(x) = u'(v(x))·v'(x).
3 2
Beispiel: u(x) = x v(x) = 4 - 3x => u'(x) = 3x v'(x) = - 3
3 2
f(x) = u(v(x)) = (4 - 3x) f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = 3(4 - 3x) ·(-3)
3 2
Somit: f(x) = (4 - 3x) hat die Ableitung f'(x) = -9(4 - 3x)
3
a) u(x) = 2x v(x) = 7x - 11
- 2
b) u(x) =\/x v(x) = 25 - x
1
c) u(x) = - v(x) = 5 - 3x
x
2
d) u(x) = x v(x) = sinx
Erst ab Klasse 13 (Kenntnis von exp und ln wird benötigt!)
x 1 2
e) u(x) = e v(x) = - -x
2
2
f) u(x) = lnx v(x) = x + 1 (nicht mehr für B-W)
Lösungen
Nun wird es Dir nicht schwer fallen, auch die folgenden
Funktionen abzuleiten:
2. Übung zur Kettenregel: Leite ab!
Verwende die Regel: "Äußere Ableitung · innere Ableitung"!
11 1 3
a) f(x) = 3(5x - 7) b) f(x) = -(3 - 4x)
2
c) f(x) = 3sin2x d) f(x) = 2cos3x
3 2
e) f(x) = —————— f) f(x) = —————————
2x - 1 3
(2x - 4)
————— - 2
g) f(x) = 4\/1- 3x h) f(x) = (1 - \/x)
Erst ab Klasse 13 (Kenntnis von exp und ln wird benötigt!)
2 3 - 2x 2 -
i) f(x) = -e k) f(x) = 4ln(3x - \/x) (nicht mehr in B-W)
3
Lösungen
Als nächste Übung musst Du die Funktion u und v bei
f = uºv angeben und damit die angewendete Kettenregel
überzeugend darstellen. Erst, wenn Dir dies geling,
beherrscht Du die Kettenregel vollständig! (Ich halte dies
für den schwierigsten Teil. Aber nach Übung 1 und 2
sollte es Dir gelingen.)
3. Übung zur Kettenregel: Finde passende Funktion
u und v mit f = uºv, mache die Probe
f(x) = u(v(x)) und leite nach der Kettenregel ab!
Beachte u ist die äußere Funktion (das was
später berechnet wird), v ist die innere Funktion
(das was zuerst berechnet wird).
—————
1 9 /2
a) f(x) = ——(5 - 4x) b) f(x) = \/x - 25
18
1 3 1 3
c) f(x) = -sin x d) f(x) = -sinx
3 3
—————————
/ 2 2
e) f(x) = \/1 - sin x f) f(x) = (4sinπx + 3cosπx)
Erst ab Klasse 13 (Kenntnis von exp und ln wird benötigt!)
3
1 (x-2) 4
g) f(x) = -e h) f(x) = ln(2-3x) (nicht mehr in B-W)
2
Lösungen
Jetzt kommen einige Übungen für
Fortgeschrittene:
4. Übung zur Kettenregel:
1
a) f(x) = ————————————————— (Mit Ketten- oder Quotientenregel möglich)
3 2
4x + 5x - 7x + 8
—————
/5
b) f(x) = / - - 1
\/ x
2x + 1 4
c) f(x) = (——————) (Ketten- und Quotientenregel erforderlich)
3x - 1
————— 3 4
d) f(x) = (\/x - 3 + ————) (Nach dem Ableiten auf den Hauptnenner bringen!)
———
\/x-3
e) f(x) = sin(sin(sinx))
Erst ab Klasse 13 (Kenntnis ln wird benötigt!)
2x - 1
f) f(x) = ln ——————
x + 1
———
g) f(x) = \/lnx
Lösungen
5. Übung
Was ist die Ableitung von
1 1
- -
x x x x
f(x)=2 , g(x) = x , h(x)= 2 und i(x) = x ?
Lösungen
Lösungen zur 1. Übung zur Kettenregel
3
a) u(x) = 2x v(x) = 7x - 11
2
u'(x) = 6x v'(x) = 7
3
f(x) = u(v(x)) = 2(7x - 11)
2 2
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = 6(7x - 11) ·7 = 42(7x - 11)
- 2
b) u(x) = \/x v(x) = 25 - x
1
u'(x) = ————— v'(x) = - 2x
-
2\/x
——————
/ 2 2 2
f(x) = u(v(x)) = \/25 - x (Schaubild: Halbkreis da y + x = 25)
1 x
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = —————————— ·(- 2x) = - ——————————
—————— ——————
/ 2 / 2
2\/25 - x \/25 - x
1
c) u(x) = - v(x) = 5 - 3x
x
1
u'(x) = - —— v'(x) = - 3
2
x
1
f(x) = u(v(x)) = ——————
5 - 3x
1 3
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = - —————————·(-3) = —————————
2 2
(5 - 3x) (5 - 3x)
2
d) u(x) = x v(x) = sinx
u'(x) = 2x v'(x) = cosx
2 2
f(x) = u(v(x)) = (sinx) (Mit Klammerersparnisregel geschrieben: f(x) = sin x)
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = 2sinx·cosx (beliebter Fehler: f'(x) !falsch=! 2cosx!)
x 1 2
e) u(x) = e v(x) = - -x
2
x
u'(x) = e v'(x) = - x
1 2
- -x
2 1
f(x) = u(v(x)) = e Nebenbei bemerkt: Gauß'sche Glockenkurve: ————f(x)
——
\/2π
1 2 1 2
- -x - -x
2 2
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = e ·(-x) = -xe
2
f) u(x) = lnx v(x) = x + 1
1
u'(x) = - v'(x) = 2x
x
2
f(x) = u(v(x)) = ln(x + 1)
1 2x
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = —————·2x = ——————
2 2
x + 1 x + 1
Lösungen zur 2. Übung zur Kettenregel
11 1 3
a) f(x) = 3(5x - 7) b) f(x) = -(3 - 4x)
2
10 2
f'(x) = 165(5x - 7) f'(x) = -6(3 - 4x)
c) f(x) = 3sin2x d) f(x) = 2cos3x
f'(x) = 6cos2x f'(x) = - 6sin3x
3 2
e) f(x) = —————— f) f(x) = —————————
2x - 1 3
(2x - 4)
6 12
f'(x) = - ————————— f'(x) = - —————————
2 4
(2x - 1) (2x - 4)
————— - 2
g) f(x) = 4\/1- 3x h) f(x) = (1 - \/x)
- -
6 1 - \/x \/x - 1
f'(x) = - ————————— f'(x) = - —————— = ———————
—————— - -
\/1 - 3x \/x \/x
2 3 - 2x 2 -
i) f(x) = -e k) f(x) = 4ln(3x - \/x)
3
4 3 - 2x 4 1
f(x) = - -e f'(x) = ———————— ·(6x - ————)
3 2 - -
3x - \/x 2\/x
Lösungen zur 3. Übung zur Kettenregel
—————
1 9 /2
a) f(x) = ——(5 - 4x) b) f(x) = \/x - 25
18
1 9 - 2
u(x) = ——x v(x) = 5 -4x u(x) = \/x v(x) = x - 25
18
—————
1 9 ————— /2
f(x) = u(v(x)) = ——(v(x)) f(x) = u(v(x)) = \/(v(x) = \/x - 25
18
1 9
= ——(5 - 4x)
18
1 8 1
u'(x) = -x v'(x) = - 4 u'(x) = ————— v'(x) = 2x
2 -
2\/x
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
8 x
= - 2(5 -4x) = —————————
—————
/2
\/x - 25
1 3 1 3 1 3 1 3
c) f(x) = -sin x = -(sinx) d) f(x) = -sinx = -sin(x ) (Achtung!)
3 3 3 3
1 3 1 3
u(x) = -x v(x) = sinx u(x) = -sinx v(x) = x
3 3
1 3 1 1 3
f(x) = u(v(x)) = -(v(x)) f(x) = u(v(x)) = -sin(v(x)) = -sinx
3 3 3
1 3
= -(sinx)
3
2 1 2
u'(x) = x v'(x) = cosx u'(x) = -cosx v(x) = 3x
3
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
2 1 3 2 2 3
= (sinx) ·cosx = -cosx ·3x = x cosx
3
Hier verliert man leicht den Überblick! Beachte: bei c) wird zuerst der Sinus berechnet
und dann potenziert. Bei d) wird zuerst potenziert und dann der Sinus berechnet.
—————————
/ 2 2
e) f(x) = \/1 - sin x f) f(x) = (4sinπx + 3cosπx)
- 2 2
u(x) = \/x v(x) = 1 - (sinx) u(x) = x v(x) =4sinπx + 3cosπx
—————— 2
f(x) = u(v(x)) = \/(v(x)) f(x) = u(v(x)) = (v(x))
—————————
/ 2 2
= \/1 - sin x = (4sinπx + 3cosπx)
1
u'(x) = ———— v'(x) = - 2sinxcosx u'(x) = 2x v'(x) = 4πcosπx - 3πsinπx
-
2\/x
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
sinxcosx
= - ——————————— = 2(4sinπx + 3cosπx)·(4πcosπx - 3πsinπx)
————————
/ 2
\/1 - sin x
3
1 (x-2) 4 2
g) f(x) = -e h) f(x) = ln(2-3x) = 4ln(2-3x) für x < -
2 3
1 x 3 4
u(x) = -e v(x) = (x-2) u(x) = lnx v(x) = (2 - 3x)
2
1 v(x) 4
f(x) = u(v(x)) = -e f(x) = u(v(x)) = ln(v(x)) = ln (2 - 3x)
2
3
1 (x-2)
= -e
2
1 x 2 1 3
u'(x) = -e v'(x) = 3(x-2) u'(x) = - v'(x) = -12(2 - 3x)
2 x
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
3 3
3 2 (x-2) 12(2-3x) 12
= -(x-2) e = - ————————— = - ———————
2 4 2 - 3x
(2 - 3x)
Das Ergebnis von h) hätte man (für einen kleineren Definitionsbereich) schneller
2 2
mit der Umformung f(x) = 4ln(2 - 3x) erreicht. (Hier x < - oder x ≠ -.)
3 3
Lösungen zur 4. Übung zur Kettenregel
1 3 2 -1
a) f(x) = ————————————————— = (4x + 5x - 7x +8) (auch Quotientenregel möglich)
3 2
4x + 5x - 7x + 8
2
3 2 -2 2 -12x - 10x + 7
f'(x) = -(4x + 5x - 7x +8) (12x + 10x -7) = ——————————————————————
3 2 2
(4x + 5x - 7x + 8)
5
- ——
————— 2
/5 x 5
b) f(x) = / - - 1 f'(x) = —————————— = - ————————————
\/ x ————— —————
/5 /5
/ - - 1 2 / - - 1
2\/ x 2x \/ x
3
2x + 1 4 2x + 1 3 2(3x -1) - 3(2x + 1) 20(2x + 1)
c) f(x) = (——————) f'(x) = 4(——————) · ———————————————————— = - ——————————
3x - 1 3x - 1 2 5
(3x - 1) (3x - 1)
————— 3 4 ————— 3 3 x - 6
d) f(x) = (\/x - 3 + —————) f'(x) = 4(\/x - 3 + ——————) · —————————
———— ——— 3
\/x-3 \/x-3 -
2
2(x - 3)
3
4x (x - 6)
= ——————————
3
2(x - 3)
e) f(x) = sin(sin(sinx)) = u(v(x)) für u(x) = sin(x) und v(x) = sin(sin(x))
wobei v(x) = p(q(x)) für p(x) = sin(x) und q(x) = sin(x).
=> u'(x) = cosx und v'(x) = p'(q(x))q'(x) = cos(q(x))cosx = cos(sinx)cosx
f'(x) = u'(v(x))·v'(x) = cos(v(x))·v'(x) = cos(sin(sinx))·cos(sinx)·cosx
Bemerkung: Solche eine Funktion ist rein akademischer Struktur, in Wiklichkeit
kommt sie höchstwahrscheinlich nie vor. Ingenieure müssen sich
allerdings mit noch mehr verschachtelten Funktionen herumschlagen.
2x - 1 1
f) f(x) = ln —————— Nebenbei bemerkt: D = (-oo,-1) U (-, oo) ( U = "vereinigt")
x + 1 f 2
1 3 3 u'
f'(x) = ——————·—————— = ————————————— Regel: y =ln u => y' = ——
2x-1 2 (x + 1)(2x-1) u
———— (x+1)
x+1
——— 1 1 1
g) f(x) = \/lnx => f'(x) = —————·- = ——————— D = [1,oo) D = (1,oo)
——— x ——— f f'
2\/lnx 2x\/lnx
Lösungen zur 5. Übung zur Kettenregel:
x n
Zuerst eine Warnung: Man darf f(x)=2 nicht ableiten wie g(x) = x .
f ist eine Exponentialfunktion (Ableitung siehe unten),
n-1
und g ist eine Potenzfunktion mit g'(x) = n·x .
x-1
Also ja nicht f'(x)=x·2 (falsch!) schreiben!
Zur Ableitung der oben angegeben Potenzfunktionen benötigt man
in erster Linie die folgende Regeln:
1. f(x)=u(v(x)) => f'(x) = u'(v(x))·v'(x) (Kettenregel)
x lna x x·ln(a)
2. a = (e ) = e (nach den Potenzgesetzten)
x x
3. f(x) = e => f'(x)=e (Ableitung der nat. Exp.-Funktion)
4. (uv)' = u'v+uv' (Produktregel)
1
5. f(x)=ln(x) => f'(x)= - (Die Ableitung des nat. Logarithmus)
x
Damit kann ich die vier Funktionen ableiten:
x x·ln(2)
a) f(x) = 2 = e = u(v(x))
x x
mit u(x) = e => u'(x) = e
und v(x) = x·ln(2) => v'(x) = ln(2)
Somit: f'(x) = u'(v(x))·v'(x)
x·ln(2) x x
= e ·ln(2) = 2 ·ln(2) = ln(2)·2
Analoge leitet man g, h und i ab.
x x·ln(x) x·ln(x)
b) g(x) = x = e => g'(x) = e ·(ln(x) + 1)
x
g'(x) = (ln(x)+1)·x
1/x 1/x·ln(2)
c) h(x)= 2 = e
1/x·ln(2) 1 ln(2) 1/x
h'(x)=e ·(-ln(2)·- ) = - —————·2
2 2
x x
1/x 1/x·ln(x)
d) i(x) = x = e
(1/x)·ln(x) 1 1
i'(x)=e ·(- ——·ln(x) + ——)
2 2
x x
1-ln(x) 1/x
i'(x)= ——————— x
2
x
-
Warum ist tan(15°)=2 -\/3?
Jedenfalls behauptet das TTmathe.
Bemerkung: TTmathe rechnet tan(15°) = 0,267 949 192 431
122 706. TTMathe gibt diesen Wert noch als Wurzel aus: tan(15°) = 2-sqrt(3).
Antwort: Die Frage ist berechtigt. Rechnet doch TTMathe nur
numerisch und es könnte sein, dass TTmathe nur
zufällig einen Näherungswert erwischt hat. (Was bei
bei einer Genauigkeit von ca. 18 signifikanten Stellen
natürlich äußerst unwahrscheinlich ist.)
Tatsächlich stimmt die Behauptung.
Hier der Beweis:
1 - 1 α 1 - cosα
mit cos(30°) = -\/3 und sin(30°) = - sowie tan- = ———————— folgt:
2 2 2 sinα
-
tan15° = 2 - \/3
In einem Diskussionsforum
(de.sci.mathematik) wurden von Hermann Kremer einmal
folgende Werte gepostet:
sin( 0°) = 0
cos( 0°) = 1
sin( 3°) = (sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(sqrt(5)+5))/16
cos( 3°) = (2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1))/16
sin( 6°) = (sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5-sqrt(5))-(sqrt(5)+1))/8
cos( 6°) = (sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)+1))/8
sin( 9°) = (sqrt(2)*(sqrt(5)+1)-2*sqrt(5-sqrt(5)))/8
cos( 9°) = (sqrt(2)*(sqrt(5)+1)+2*sqrt(5-sqrt(5)))/8
sin(12°) = (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))-sqrt(3)*(sqrt(5)-1))/8
cos(12°) = (sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(5)-1)/8
sin(15°) = sqrt(2)*(sqrt(3)-1)/4
cos(15°) = sqrt(2)*(sqrt(3)+1)/4
sin(18°) = (sqrt(5)-1)/4
cos(18°) = sqrt(2)*sqrt(sqrt(5)+5)/4
sin(21°) = (2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5))-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1))/16
cos(21°) = (2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5))+sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1))/16
sin(22,5°) = 1/2*sqrt(2-sqrt(2))
cos(22,5°) = 1/2*sqrt(2+sqrt(2))
sin(24°) = (2*sqrt(3)*(sqrt(5)+1)-sqrt(2)*(sqrt(5)-1)*sqrt(5+sqrt(5)))/16
cos(24°) = (sqrt(2)*sqrt(3)*(sqrt(5)-1)*sqrt(5+sqrt(5))+2*(sqrt(5)+1))/16
sin(27°) = ((sqrt(5)+1)*sqrt(sqrt(5)+5)+(sqrt(5)-1)*(sqrt(5-sqrt(5))-2*sqrt(2)))/16
cos(27°) = ((sqrt(5)+1)*sqrt(sqrt(5)+5)+(sqrt(5)-1)*(sqrt(5-sqrt(5))+2*sqrt(2)))/16
sin(30°) = 1/2
cos(30°) = sqrt(3)/2
sin(33°) = (2*(sqrt(3)-1)*sqrt(sqrt(5)+5)+sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)-1))/16
cos(33°) = (2*(sqrt(3)+1)*sqrt(sqrt(5)+5)-sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)-1))/16
cos(36°) = (sqrt(5)+1)/4
sin(36°) = sqrt(2)*sqrt(5-sqrt(5))/4
sin(39°) = (sqrt(2)*(sqrt(3)+1)*(sqrt(5)+1)-2*(sqrt(3)-1)*sqrt(5-sqrt(5)))/16
cos(39°) = (sqrt(2)*(sqrt(3)-1)*(sqrt(5)+1)+2*(sqrt(3)+1)*sqrt(5-sqrt(5)))/16
sin(42°) = (sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(5+sqrt(5))-(sqrt(5)-1))/8
cos(42°) = (sqrt(2)*sqrt(5+sqrt(5))+sqrt(3)*(sqrt(5)-1))/8
sin(45°) = sqrt(2)/2
cos(45°) = sqrt(2)/2
Wozu soll das gut sein?
Ein Beispiel ist die Konstruktion des regelmäßigen n-Ecks, etwa des
regelmäßigen 5-Ecks. Bei diesem kann man den
Mittelpunktswinkel von 72° mit Hilfe der Formel
-
\/5 -1
cos(72°)=sin(18°)= ——————
4
mit Zirkel und Lineal konstruieren.
sin(10°) läßt sich nicht mit Zirkel und Lineal konstruieren
und damit auch nicht ein reglmäßiges, 36-, 18- oder Neuneck mit den Mittelpunktswinkeln
10°, 20° oder 40°.
Anders ausgedrückt: Die Dreiteilung eines 30°- ,60°- oder 120°-Winkels ist
mit Zirkel und Lineal unmöglich.
Weitere Werte
Warum berechnet Excel und mein Taschenrechner
9x4-y4+2y2 für x=10864
und y=18817 falsch?
Von Hand ausgerechnet erhalte ich den Wert 1:
9*x^4 - y4 + 2y^2 =
125 372 283 822 342 144
- 125 372 284 530 501 121
+ 708 158 978
——————————————————————————
= 1
|
Excel liefert den Wert 2 und mein Taschrechner
liefert
mir über 1 Million (genau 1 158 978).
Was stimmt da nicht?
|
Anwort: Verlasse Dich nie auf Excel oder Deinen Taschenrechner.
Sie rechnen nur mit ungenauen Werten. Das Unredliche daran ist:
Sie weisen den Benutzer nicht darauf hin.
Genauer: (Horst Kraemer in de.sci.mathematik):
Bei Excel liegt es daran, dass Excel mit dem Datentyp
IEEE-Double rechnet, der nur ca. 16 signifikante Dezimalstellen
(53 Binaerstellen) für die Mantisse hat.
Ganze Zahlen über der "Schallgrenze"
253=9 007 199 254 740 992 werden i.d.R.
nicht exakt sondern binaer gerundet berechnet.
Da die Werte 9·x4 und y4 jeweils 18
signifikante Dezimalstellen besitzen, sind die Potenzen und
damit auch die Differenz der benachbarten Werte
9·x4-y4 fehlerbehaftet.
Beim Taschenrechner mag es daran liegen, dass hier bereits bei
Berechnung der Potenz ein Ueberlauf stattfindet.
TTText