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Wir betrachten den Tonraum (T,I,+,<).
T=Menge der Töne (genauer: Tonhöhe)
Variablen von Tönen werden mit großen Buchstaben A,B,C,.. geschrieben.
I = Menge der Intervalle
Variablen von Intervallen werden mit kleinen Buchstaben i,j,... geschrieben.
Nun folgen 11 Axiome für diese Struktur ähnlich den Axiomen des affinen Raumes. Die Töne A, B ... entsprechen den Punkten, die Intervalle i=AB ... den Vektoren.
Zuerst wird die Struktur der Intervalle beschrieben:
Die Menge der Intervalle I ist bez. '+' eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe.
D.h. es gelten die Gesetze (1) bis (8):
(1) | Abgeschlossenheit: Für zwei Intervalle i und j gilt: i+j ist wieder ein |
Intervall [zum Beispiel Quart + Terz =Sext] | |
(2) | Assoziativgesetz: (i+j)+k=i+(j+k) |
(3) | Kommutativgesetz: i+j=j+i |
(4) | Existenz des Nullelementes und Inversen: |
i+x=j ist stets eindeutig lösbar, geschrieben x=j-i | |
(Insbesondere gibt es das Nullintervall [Prim] o: i+o=i | |
und zu jedem Intervall i das inverse Intervall -i mit | |
i+(-i)=o) | |
(5) | Trichotomie: Stets gilt: i |
(6) | Transitiv: Aus i |
(7) | Monotonie: Aus i |
(8) | Archimedisches Gesetz: Stets gibt es zu Intervallen i und j mit 0 |
natürliche Zahl n so, dass n·i>j, wobei man das Intervall n·i durch n-maliges | |
Addieren des Intervalls i erhält. |
(9) | Je zwei Töne A und B bestimmen genau ein Intervall i, |
geschrieben i=AB [oder wie Vektoren AB mit Pfeil darüber] | |
[Auf diese Weise kann ich erst jemanden das Intervall mitteilen, sinnlich | |
ist das Intervall ein Klang] | |
(Alternativ könnte man auch wie bei Ortsvektoren i=B-A schreiben). | |
(10) | Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B |
so, dass i=AB, geschrieben B=A+i. | |
[Achtung: A+i ist eine andere Addition als i+j!] | |
[Allein mit dem Gehör finde ich zu einem gegeben Ton den Ton, der zum Beispiel | |
eine große Terz höher liegt] | |
Also: i=AB <-> B=A+i | |
(11) | A+(i+j)=(A+i)+j für Töne A und Intervalle i und j |
("gemischtes" Assoziativgesetz.) | |
[zum Beispiel Oft findet man den Ton, der eine Quinte höher liegt, mit Hilfe | |
des Dur-Dreiklanges: zuerst wird die große Terz, dann die kleine | |
Terz angesetzt]. | |
(11A) | Alternativ: AB+BC=AC |
Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC. | |
"=>" | Sei A+(i+j)=(A+i)+j für alle A ε T und i,j ε I. |
Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j (nach (11)) | |
= B+ j=C. | |
Somit AC=i+j=AB+BC | |
"<=" | Sei AB+BC=AC für alle A,B,C ε T |
Gegeben sei A ε T und i,j El I. | |
Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt: | |
(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit: | |
A+(i+j)=(A+i)+j | |
∎ |
Hinweis: | T ist "geordneter affiner" Raum über dem "Intervallraum" I, wobei I |
diesmal kein Vektorraum - wie bei affinen Räumen üblich- sondern | |
eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist. |